Question

3．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）¹=a+b，
（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，…
下面我们依次对（a+b）ⁿ展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数是可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）（a+b）ⁿ展开式中共有多少项？
（2）请写出多项式（a+b）⁵的展开式？

Answer 1

分析 （1）直接利用已知（a+b）ⁿ展开式的项数变化规律得出答案；
（2）利用已知（a+b）ⁿ展开式的各项系数与次数的变化规律得出答案．

解答 解：（1）由已知可得：（a+b）¹展开式中共有2项，
（a+b）²展开式中共有3项，
（a+b）³展开式中共有4项，
…
则（a+b）ⁿ展开式中共有（n+1）项，

（2）（a+b）¹=a+b，
（a+b）²=a²+2ab+b²，
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，…
则（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

点评 此题主要考查了完全平方公式以及数字变化规律，正确得出系数与次数的变化规律是解题关键．