Question

在平面直角坐标系中，图①和图②中的各三角形顶点均在网格图的格点上，根据所给信息解答下列问题：
（1）动手操作，探究结论：在图①中，△ABO的三个顶点的坐标分别是A（2，4）、B（4，0）、O（0，0），将△ABO的三个顶点的横坐标都加上2，纵坐标不变，分别得到点A’、B’、O’，依次连接A’、B’、O’各点，画出△A’B’O’，并说明△A’B’O’与△ABO在大小、形状、位置上有什么关系？
（2）仔细观察，探究规律：在图②中，第一次将△OAB变换成△OA₁B₁，第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂，第三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃，已知A（1，4），A₁（2，4），A₂（4，4），A₃（8，4），B（2，0），B₁（4，0）B₂（8，0），B₃（16，0）…
①按此图形变化规律，写出△OA₄B₄的顶点坐标A₄______，B₄______；
②通过计算得出△OA₄B₄的面积是△OAB面积的______倍；
③通过上述变化规律，请你猜想出△OA_nB_n的面积是△OAB面积的多少倍？

Answer 1

解：（1）如图，△A′B′O′与△ABO的形状，大小完全相同，△A′B′O′可以看作将△ABO向右平移2个单位得到的；

（2）①8×2=16，16×2=32，
∴A₄（16，4）、B₄（32，0），
②∵△OA₄B₄与△OAB的高都是4，OB₄=16×2=32，OB=2，
∴S_△OA4B4=×32×4=64，
S_△OAB=×2×4=4，
64÷4=16，
∴△OA₄B₄的面积是△OAB面积的16倍；
③根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，
∴OB_n=2ⁿ⁺¹，
S_△OAnBn=×2ⁿ⁺¹×4=2ⁿ⁺²，
S_△OAB=×2×4=4，
2ⁿ⁺²÷4=2ⁿ，
∴△OAnBn的面积是△OAB面积的2ⁿ倍．
分析：（1）把点A、B、C向右移动两个单位，分别找出点A′、B′、O′的位置，然后顺次连接即可得到△A′B′O′，然后根据平移的性质解答；
（2）①根据规律发现，把点A₃与点B₃的横坐标扩大2倍，纵坐标不变解答；
②根据三角形的面积公式分别计算出△OA₄B₄的面积与△OAB的面积，然后相除即可求出倍数；
③根据三角形的底边后一个是前一个三角形的底边的2倍，先求出△OA_nB_n的底边OB_n的长度，高都是4不变，然后利用三角形的面积公式分别计算出两三角形的面积，相除即可得到倍数．
点评：本题考查了坐标变换的平移变换以及图形规律的探寻，（2）中发现三角形的高都是4不变，底边成2倍扩大的规律是解题的关键．