Question

17．已知函数y₁=ax²+bx，y₂=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y₁的图象过点（-1，0），函数y₂的图象过点（1，2），求a，b的值．
（2）若函数y₂的图象经过y₁的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x＜$\frac{3}{2}$时，比较y₁，y₂的大小．

Answer 1

分析 （1）结合点的坐标利用待定系数法即可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）①将函数y₁的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y₂的解析式中，即可得出a、b的关系，再根据ab≠0，整理变形后即可得出结论；
②由①中的结论，用a表示出b，两函数解析式做差，即可得出y₁-y₂=a（x-2）（x-1），根据x的取值范围可得出（x-2）（x-1）＜0，分a＞0或a＜0两种情况考虑，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b}\\{2=a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
故a=1，b=1．
（2）①证明：∵y₁=ax²+bx=a$（x+\frac{b}{2a}）^{2}-\frac{{b}^{2}}{4a}$，
∴函数y₁的顶点为（-$\frac{b}{2a}$，-$\frac{{b}^{2}}{4a}$），
∵函数y₂的图象经过y₁的顶点，
∴-$\frac{{b}^{2}}{4a}$=a（-$\frac{b}{2a}$）+b，即b=-$\frac{{b}^{2}}{2a}$，
∵ab≠0，
∴-b=2a，
∴2a+b=0．
②∵b=-2a，
∴y₁=ax²-2ax=ax（x-2），y₂=ax-2a，
∴y₁-y₂=a（x-2）（x-1）．
∵1＜x＜$\frac{3}{2}$，
∴x-2＜0，x-1＞0，（x-2）（x-1）＜0．
当a＞0时，a（x-2）（x-1）＜0，y₁＜y₂；
当a＜0时，a（x-2）（x-1）＞0，y₁＞y₂．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是：（1）结合点的坐标利用待定系数法求出函数系数；（2）①函数y₁的顶点坐标代入y₂中，找出a、b间的关系；②分a＞0或a＜0两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，利用配方法找出函数y₁的顶点坐标，再代入y₂中找出a、b间的关系是关键．