Question

如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…．观察图形，完成下面各题：
（1）下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整

前n行数	1	2	3	4	5	…	10	…	n
点数和	1	3	6	10	15	…	55	…	n(1+n) 2

（2）若该三角点阵前n行的点数和是300，求行数n．
（3）该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1+2+3+4+5）个点，前10行共有（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）个点，前n行共有（1+2+3+4+5+…+n）个点，然后求它们的和；
（2）前n行共有

n(n+1)

2

个点，则

n(1+n)

2

=300，然后解方程得到n的值；
（3）与（2）一样有

n(1+n)

2

=600，整理得n²+n-1200=0，利用一元二次方程的求根公式得到n=

-1± 4801

2

，得到n为无理数，则可判断三角点阵前n行的点数和不能为600．

解答：解：（1）15，55，

n(1+n)

2

；

（2）

n(1+n)

2

=300，
整理得n²+n-600=0，
（n+25）（n-24）=0，
∴n₁=-25，n₂=24，
∵n为正整数，
∴n=24；

（3）三角点阵前n行的点数和不能为600．理由如下：
设行数为n，

n(1+n)

2

=600，
整理得n²+n-1200=0，
∵△=1-4×（-1200）=4801，
∴n=

-1± 4801

2

，
∴n为无理数，
∴三角点阵前n行的点数和不能为600．

点评：本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．