Question

小强在一次投篮训练中，从距地面高1.55米处的O点投出一球向篮圈中心A点投去，球的飞行路线为抛物线，当球达到离地面最大高度3.55米时，球移动的水平距离为2米．现以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OC的夹角为30°，A、C两点相距1.5米．
（1）求点A的坐标；
（2）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小强这一投能否把球从O点直接投入篮圈A点（排除篮板球），如果能，请说明理由；如果不能，那么前后移动多少米，就能使刚才那一投直接命中篮圈A点了．（结果可保留根号）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形的边角关系得到OC的长，可以确定点A的坐标．（2）根据球到达的最大高度和移动的水平距离确定抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，然后把O（0，0）代入顶点式，求出抛物线的解析式．（3）把点A的坐标代入抛物线的解析式，发现抛物线的两边不等，说明点A不在抛物线上，那么小强不能从O点把球投入．把y=1.5代入抛物线求出x的值，得到小强后退的距离．
解答：解：（1）在Rt△AOC中，
∵∠AOC=30°，AC=1.5
∴OC=AC•cot30°=1.5×=，
∴点A的坐标为（，1.5）；

（2）∵顶点B的纵坐标：3.55-1.55=2，
∴B（2，2），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+2
把点O（0，0）坐标代入得：0=a（0-2）²+2，
解得a=，
∴抛物线的解析式为，
即；

（3）①∵当时，y≠1.5，
∴小强这一投不能把球从O点直接投入球篮；
②当y=1.5时，，
解得x₁=1（舍），x₂=3，
又∵，
∴小强只需向后退（）米，就能使刚才那一投直接命中球篮A点了．
点评：本题考查的是二次函数的应用，（1）利用直角三角形求出点A的坐标．（2）根据顶点式求出抛物线的解析式．（3）先判断点A不在抛物线上，然后求出小强后退的距离．