Question

【题目】已知：如图点在正比例函数图象上，点坐标为，连接，，点是线段的中点，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，点在线段上由点向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为秒．

（1）正比例函数的关系式为 ；

（2）当秒，且时，求点的坐标；

（3）连接，在点运动过程中，与是否全等？如果全等，请求出点的运动速度；如果不全等，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当点的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，与全等．

【解析】

（1）设正比例函数的解析式为y=kx，然后将点A的坐标代入求解即可；
（2）过点Q作QH⊥x轴于点H，由t=1，可知BP=2，从而可求得OP=10，然后根据三角形的面积公式可求出QH的长，又点Q在正比例函数图象上，从而可得出点Q的坐标；
（3）由OA=AB=10得到∠QOP=∠CBP，由△OPQ与△BPC全等可知：OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB，再分别求出AQ的长，从而可求得点Q的运动速度．

解：（1）设正比例函数的解析式为y=kx，
把A（6，8）代入得：8=6k．
解得：k=．
故答案为：y=x；
（2）当t=1时，BP=2，OP=10．
如图，过点Q作QH⊥x轴于点H，

∵S△OPQ=OPQH=6，∴QH=．
把Q（x，）代入y=x中，得x=，
∴点Q的坐标为（，）；
（3）∵AO=AB=10，点C是线段AB的中点，
∴BC=5，∠QOP=∠CBP．
若△OPQ与△BPC全等，
则有OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB．
设Q点的运动速度为v个单位/秒，

①OP=BC=5，OQ=BP时，
∵OP=5，∴12-2t=5．解得t=．

∴OQ=BP=2×=7．

∴AQ=10-7=3．
∴v=3，解得v=．
∴点Q运动的速度为个单位/秒．
②当OQ=BC=5，OP=PB=6时，
由OP=PB=OB=6可知：2t=6，
解得：t=3．
∵OQ=5，∴AQ=OA-OQ=10-5=5．
∴3v=5，解得v=．
∴点Q运动的速度为个单位/秒．
综上所述：当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，△OPQ与△BPC全等．