Question

如图所示，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过C点的切线交AB于点D．若AD=3BD，CD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：连结OB，根据切线长定理和切线的性质得到DB=DC=2，∠ABO=∠ACD=90°，则AD=3BD=6，AB=AD+BD=8，在RtACD中根据勾股定理求得AC，然后通过三角形相似，对应边成比例即可求得．

解答：解：连结OB，如图，
∵AB、CD是⊙O的切线，
∴DB=DC=2，OB⊥AB，CD⊥OA，
∴∠ABO=∠ACD=90°，AD=3BD=6，
∴AB=AD+BD=4BD=4×2=8，
在RtACD中，∵CD=2，AD=6，
∴AC=

AD2-DC2

=

62-22

=4

2

，
∵∠ABO=∠ACD=90°，∠OAB=∠DAC，
∴△OAB∽△DAC，
∴

OB

DC

=

AB

AC

，即

OB

2

=

8

4 2

，
解得，OB=2

2

，
即⊙O的半径为2

2

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理和三角形相似的判定和性质．