Question

已知△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且

AD

BD

=

AE

CE

=n，CD交BE于O，连AO并延长交BC于F．
（1）当n=

1

2

时，求

AO

OF

的值；
（2）当n=1时，求证：BF=CF；
（3）当n=

 

时，O为AF中点．

Answer 1

分析：（1）连接DE交AF于K，根据平行线分线段成比例定理，即可证得DE∥BC，继而可得

AK

KF

=

AD

BD

=

1

2

，

OK

OF

=

DE

BC

=

AD

AB

= 

1

3

，根据比例的性质，即可求得

AO

OF

的值；
（2）由n=1时，AD=BD，AE=CE，可得O是△ABC的重心，继而可得BF=CF；
（3）根据（1）的证明方法，即可求得答案．

解答：解：（1）连接DE交AF于K，
∵

AD

BD

=

AE

CE

=

1

2

，
∴DE∥BC，
∴

AK

KF

=

AD

BD

=

1

2

，

OK

OF

=

DE

BC

=

AD

AB

= 

1

3

，
∴设OK=a，则OF=3a，
∴KF=4a，
∴AK=2a，
∴OA=AK+OK=3a，
∴

AO

OF

=1；

（2）∵n=1时，AD=BD，AE=CE，
∴O是△ABC的重心，
∴AF是△ABC的中线，
∴BF=CF；

（3）∵

AD

BD

=

AE

CE

=

1

2

，
∴DE∥BC，
∴

AK

KF

=

AD

BD

=

1

2

，

OK

OF

=

DE

BC

=

AD

AB

= 

1

3

，
∴设OK=a，则OF=3a，
∴KF=4a，
∴AK=2a，
∴OA=AK+OK=3a，
∴

AO

OF

=1，
∴当n=

1

2

时，O为AF中点．
故答案为：

1

2

．

点评：此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用与辅助线的作法．