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阅读下列范例,按要求解答问题.
例:已知实数a、b、c满足a+b+2c=1,a2+b2+6c+
3
2
=0,求a、b、c的值.
解法1:由已知得a+b=1-2c,①(a+b)2-2ab+6c+
3
2
=0.②
将①代入②,整理得4c2+2c-2ab+
5
2
=0.∴ab=2c2+c+
5
4

由①、③可知,a、b是关于t的方程t2-(1-2c)t+2c2+c+
5
4
=0④的两个实数根.
∴△=(1-2c)2-4(2c2+c+
5
4
≥0,即(c+1)2≤0.而(c+1)2≥0,∴c+l=0,c=-1,
将c=-1代入④,得t2-3t+
9
4
=0.∴t1=t2=
3
2
,即a=b=
3
2
.∴a=b,c=-1.
解法2∵a+b+2c=1,∴a+b=1-2c、设a=
1-2c
2
+t,b=
1-2c
2
-t.①
∵a2+b2+6c+
3
2
=0,∴(a+b)2-2ab+6c+
3
2
=0.②
将①代入②,得(1-2c)2-2(
1-2c
2
+t)(
1-2c
2
-t)
+6c+
3
2
=0.
整理,得t2+(c2+2c+1)=0,即t2+(c+1)2=0.∴t=0,c=-1.
将t、c的值同时代入①,得a=
3
2
,b=
3
2
.a=b=
3
2
,c=-1.
以上解法1是构造一元二次方程解决问题.若两实数x、y满足x+y=m,xy=n,则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根,然后利用判别式求解.
以上解法2是采用均值换元解决问题.若实数x、y满足x+y=m,则可设x=
m
2
+t,y=
m
2
-t.一些问题根据条件,若合理运用这种换元技巧,则能使问题顺利解决.
下面给出两个问题,解答其中任意一题:
(1)用另一种方法解答范例中的问题.
(2)选用范例中的一种方法解答下列问题:
已知实数a、b、c满足a+b+c=6,a2+b2+c2=12,求证:a=b=c.
分析:(1)此题可以利用方程组的知识建立起a与b之间的关系,根据非负数的性质解答;
(2)利用换元法构造一元二次方程,然后利用根与系数的关系解答.
解答:(1)解:由已知等式消去c,得a2+b2+3(1-a-b)+
3
2
=0,即a2+b2-3a-3b+
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=0,
∴(a-
3
2
2+(b-
3
2
2=0,
故a=
3
2
,b=
3
2

于是由a+b+2c=1,得c=-1,
故a=b=
3
2
,c=-1;

(2)证明:由已知得a+b=6-c ①
(a+b)2+c2-2ab=12 ②
将①代入②得(6-c)2+c2-2ab=12,
∴ab=c2-6c+12 ③
由①③可知,a、b是关于t的方程t2-(6-c)t+c2-6c+12=0 ④的两个实数根.
∴△=(6-c)2-4(c2-6c+12)≥0,
化简得(c-2)2≤0,
而(c-2)2≥0,
∴c=2.
将c=2代入④,
解得t1=t2=2,
∴a=b=2,
∴a=b=c.
点评:此题是一道材料分析题,给出了解题的范例,考查了利用换元法根据根与系数的关系构造一元二次方程,还涉及非负数的性质等内容,需要认真对待.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下列范例,按要求解答问题.
例:已知实数a,b,c满足:a+b+2c=1,a2+b2+6c+
3
2
=0
,求a,b,c的值.
解:∵a+b+2c=1,∴a+b=1-2c,
a=
1-2c
2
+t,b=
1-2c
2
-t

a2+b2+6c+
3
2
=0

将①代入②得:(
1-2c
2
+t)2+(
1-2c
2
-t)2+6c+
3
2
=0

整理得:t2+(c2+2c+1)=0,即t2+(c+1)2=0,∴t=0,c=-1
将t,c的值同时代入①得:a=
3
2
,b=
3
2
.∴a=b=
3
2
,c=-1

以上解法是采用“均值换元”解决问题.一般地,若实数x,y满足x+y=m,则可设x=
m
2
+t,y=
m
2
-t
,合理运用这种换元技巧,可顺利解决一些问题.现请你根据上述方法试解决下面问题:
已知实数a,b,c满足:a+b+c=6,a2+b2+c2=12,求a,b,c的值.

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科目:初中数学 来源:藁城市一模 题型:解答题

阅读下列范例,按要求解答问题.
例:已知实数a,b,c满足:a+b+2c=1,a2+b2+6c+
3
2
=0
,求a,b,c的值.
∵a+b+2c=1,∴a+b=1-2c,
a=
1-2c
2
+t,b=
1-2c
2
-t

a2+b2+6c+
3
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=0

将①代入②得:(
1-2c
2
+t)2+(
1-2c
2
-t)2+6c+
3
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=0

整理得:t2+(c2+2c+1)=0,即t2+(c+1)2=0,∴t=0,c=-1
将t,c的值同时代入①得:a=
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,b=
3
2
.∴a=b=
3
2
,c=-1

以上解法是采用“均值换元”解决问题.一般地,若实数x,y满足x+y=m,则可设x=
m
2
+t,y=
m
2
-t
,合理运用这种换元技巧,可顺利解决一些问题.现请你根据上述方法试解决下面问题:
已知实数a,b,c满足:a+b+c=6,a2+b2+c2=12,求a,b,c的值.

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科目:初中数学 来源:2010年河北省石家庄市藁城市中考数学一模试卷(解析版) 题型:解答题

阅读下列范例,按要求解答问题.
例:已知实数a,b,c满足:,求a,b,c的值.
解:∵a+b+2c=1,∴a+b=1-2c,


将①代入②得:
整理得:t2+(c2+2c+1)=0,即t2+(c+1)2=0,∴t=0,c=-1
将t,c的值同时代入①得:.∴
以上解法是采用“均值换元”解决问题.一般地,若实数x,y满足x+y=m,则可设,合理运用这种换元技巧,可顺利解决一些问题.现请你根据上述方法试解决下面问题:
已知实数a,b,c满足:a+b+c=6,a2+b2+c2=12,求a,b,c的值.

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科目:初中数学 来源:2002年湖北省荆门市中考数学试卷(解析版) 题型:解答题

(2002•荆门)阅读下列范例,按要求解答问题.
例:已知实数a、b、c满足a+b+2c=1,a2+b2+6c+=0,求a、b、c的值.
解法1:由已知得a+b=1-2c,①(a+b)2-2ab+6c+=0.②
将①代入②,整理得4c2+2c-2ab+=0.∴ab=2c2+c+
由①、③可知,a、b是关于t的方程t2-(1-2c)t+2c2+c+=0④的两个实数根.
∴△=(1-2c)2-4(2c2+c+≥0,即(c+1)2≤0.而(c+1)2≥0,∴c+l=0,c=-1,
将c=-1代入④,得t2-3t+=0.∴t1=t2=,即a=b=.∴a=b,c=-1.
解法2∵a+b+2c=1,∴a+b=1-2c、设a=+t,b=-t.①
∵a2+b2+6c+=0,∴(a+b)2-2ab+6c+=0.②
将①代入②,得(1-2c)2-2+6c+=0.
整理,得t2+(c2+2c+1)=0,即t2+(c+1)2=0.∴t=0,c=-1.
将t、c的值同时代入①,得a=,b=.a=b=,c=-1.
以上解法1是构造一元二次方程解决问题.若两实数x、y满足x+y=m,xy=n,则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根,然后利用判别式求解.
以上解法2是采用均值换元解决问题.若实数x、y满足x+y=m,则可设x=+t,y=-t.一些问题根据条件,若合理运用这种换元技巧,则能使问题顺利解决.
下面给出两个问题,解答其中任意一题:
(1)用另一种方法解答范例中的问题.
(2)选用范例中的一种方法解答下列问题:
已知实数a、b、c满足a+b+c=6,a2+b2+c2=12,求证:a=b=c.

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