Question

阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a²+b²+6c+

3

2

=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）²-2ab+6c+

3

2

=0．②
将①代入②，整理得4c²+2c-2ab+

5

2

=0．∴ab=2c²+c+

5

4

③
由①、③可知，a、b是关于t的方程t²-（1-2c）t+2c²+c+

5

4

=0④的两个实数根．
∴△=（1-2c）²-4（2c²+c+

5

4

≥0，即（c+1）²≤0．而（c+1）²≥0，∴c+l=0，c=-1，
将c=-1代入④，得t²-3t+

9

4

=0．∴t₁=t₂=

3

2

，即a=b=

3

2

．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=

1-2c

2

+t，b=

1-2c

2

-t．①
∵a²+b²+6c+

3

2

=0，∴（a+b）²-2ab+6c+

3

2

=0．②
将①代入②，得（1-2c）²-2(

1-2c

2

+t)(

1-2c

2

-t)+6c+

3

2

=0．
整理，得t²+（c²+2c+1）=0，即t²+（c+1）²=0．∴t=0，c=-1．
将t、c的值同时代入①，得a=

3

2

，b=

3

2

．a=b=

3

2

，c=-1．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t²-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=

m

2

+t，y=

m

2

-t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
（1）用另一种方法解答范例中的问题．
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a²+b²+c²=12，求证：a=b=c．

Answer 1

分析：（1）此题可以利用方程组的知识建立起a与b之间的关系，根据非负数的性质解答；
（2）利用换元法构造一元二次方程，然后利用根与系数的关系解答．

解答：（1）解：由已知等式消去c，得a²+b²+3（1-a-b）+

3

2

=0，即a²+b²-3a-3b+

9

2

=0，
∴（a-

3

2

）²+（b-

3

2

）²=0，
故a=

3

2

，b=

3

2

，
于是由a+b+2c=1，得c=-1，
故a=b=

3

2

，c=-1；

（2）证明：由已知得a+b=6-c ①
（a+b）²+c²-2ab=12 ②
将①代入②得（6-c）²+c²-2ab=12，
∴ab=c²-6c+12 ③
由①③可知，a、b是关于t的方程t²-（6-c）t+c²-6c+12=0 ④的两个实数根．
∴△=（6-c）²-4（c²-6c+12）≥0，
化简得（c-2）²≤0，
而（c-2）²≥0，
∴c=2．
将c=2代入④，
解得t₁=t₂=2，
∴a=b=2，
∴a=b=c．

点评：此题是一道材料分析题，给出了解题的范例，考查了利用换元法根据根与系数的关系构造一元二次方程，还涉及非负数的性质等内容，需要认真对待．