Question

如图，OA、OB的长分别是关于x的方程x²-12x+32=0的两根，且OA＞OB．请解答下列问题：
（1）求直线AB的解析式；
（2）若P为AB上一点，且，求过点P的反比例函数的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、P、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先解x²-12x+32=0，即可求得点A与B的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）首先过点P作PH⊥x轴于点H，由，利用平行线分线段成比例定理，即可求得AH的长，则可求得点P的横坐标，代入一次函数解析式，即可求得点P的坐标，再利用待定系数法即可求得过点P的反比例函数的解析式；
（3）分别从PQ∥AO，AQ∥PO，AP∥OQ去分析，利用函数解析式与两点间的距离公式即可求得答案．
解答：解：（1）∵x²-12x+32=0，
∴（x-4）（x-8）=0，
解得：x₁=4，x₂=8．
∵OA、OB的长分别是关于x的方程x²-12x+32=0的两根，且OA＞OB，
∴OA=8，OB=4．
∴A（-8，0），B（0，4）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=x+4；

（2）过点P作PH⊥x轴于点H．
设P（x，y），
∴AH=|-8-x|=x+8．
∵PH∥y轴，
∴，
∴，
即．
解得 x=-6．
∵点P在y=x+4上，
∴y=×（-6）+4=1．
∴P（-6，1）．
设过点P的反比例函数的解析式为：y=，则1=．
∴k=-6．
∴点P的反比例函数的解析式为：y=-（x＜0）．

（3）存在．
如图①，若PQ∥AO，过点Q作QG⊥AO于G，过点P作PH⊥AO于H，
∵梯形OAPQ是等腰梯形，
∴AH=OG=8-6=2，QG=PH=1，
∴点Q的坐标为（-2，1）；
如图②，若AQ∥PO，
∵OP的解析式为：y=-x，
设直线AQ的解析式为：y=-x+m，
∵A（-8，0），
∴-×（-8）+m=0，
解得：m=-，
∴直线AQ的解析式为：y=-x-，
设点Q的坐标为：（x，-x-），
∵梯形APOQ是等腰梯形，
∴PA=OQ，
∴x²+（-x-）²=[-8-（-6）]²+1²，
整理得：37x²+16x-116=0，
即（37x-58）（x+2）=0，
解得：x=或x=-2（舍去），
∴y=-×-=-，
∴点Q的坐标为：（，-）；
如图③，若AP∥OQ，
∵直线AP的解析式为：y=x+4，
∴直线OQ的解析式为：y=x，
设点Q的坐标为（x，x），
∵AQ=OP，
∴（x+8）²+（x）²=1²+（-6）²，
整理得：5x²+64x+108=0，
即：（5x+54）（x+2）=0，
解得：x=-或x=-2（舍去），
∴y=×（-）=-，
∴点Q的坐标为（-，-）．
综上，点Q的坐标为（-2，1）或（，-）或（-，-）．
点评：此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、平行线分线段成比例定理、因式分解法解一元二次方程以及等腰梯形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．