Question

【题目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，AA1⊥平面ABCD，∠BAD=60°，AB=2，BC=1．AA1= ，E为A1B1的中点．
（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AD；
（2）求多面体A1E﹣ABCD的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB=2，AD=BC=1，∠BAD=60°，

∴BD= = ，

∴BD2+AD2=AB2，∴AB⊥AD，

∵AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴BD⊥AA1，又AA1∩AD=A，AA1平面A1AD，AD平面A1AD，

∴BD⊥平面A1AD，又BD平面A1BD，

∴平面A1BD⊥平面A1AD．

（2）解：连接A1C，S四边形ABCD=2S△ABD=2× = ，

∴V = = = ，

设C到AB的距离为h，则h= = ，则C到平面ABB1A1的距离为h= ，

∴V = = = ．

∴多面体A1E﹣ABCD的体积V=V +V = ．

【解析】（1）求出BD，再利用勾股定理的逆定理证明BD⊥AD，结合BD⊥AA1即可得出BD⊥平面A1AD，从而平面A1BD⊥平面A1AD；（2）将多面体分解成三棱锥C﹣A1BE和四棱锥A1﹣ABCD，分别计算两个棱锥的体积即可得出多面体的体积．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)．