Question

14．如图1，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A（2$\sqrt{3}$，1），射线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k和a的值；
（2）直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）把A点代入反比例函数解析式可求得k，把B点坐标代入反比例函数解析式可求得a的值；
（2）过B作BH⊥AD于H，由A、B坐标可得出△ABH为等腰直角三角形，由条件可求得∠DAC=30°，在△ACD中，由勾股定理可求得CD、AC，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（3）可设出M点坐标为（t，$\frac{2\sqrt{3}}{t}$），从而可表示出N点坐标，则可用t表示出MN的长，则可用t表示出△CMN的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值．

解答 解：
（1）把A（2$\sqrt{3}$，1）代入y=$\frac{k}{x}$，可得k=2$\sqrt{3}$×1=2$\sqrt{3}$，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$，
把B（1，a）代入反比例函数解析式y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$，可得a=2$\sqrt{3}$；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，

∵B点坐标为（1，2$\sqrt{3}$），
∴AH=2$\sqrt{3}$-1，BH=2$\sqrt{3}$-1，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴∠BAH=45°，
∵∠BAC=75°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAH=30°，
∵AD=2$\sqrt{3}$，设CD=x，则AC=2x，
∴由勾股定理可得CD=2，AC=4，
∴C点坐标为（0，-1），
设直线AC解析式为y=kx+b，
把A（2$\sqrt{3}$，1），C（0，-1）代入可得
$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}k+b=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1；
（3）设M点坐标为（t，$\frac{2\sqrt{3}}{t}$）（0＜t＜1），
∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，
∴N点坐标为（t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-1），
∴MN=$\frac{2\sqrt{3}}{t}$-（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-1）=$\frac{2\sqrt{3}}{t}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+1，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$t•（$\frac{2\sqrt{3}}{t}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+1）=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t²+$\frac{1}{2}$t+$\sqrt{3}$，
∴当t=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，S有最大值，最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、勾股定理、二次函数的性质等知识．在（1）中利用交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键，在（2）中求得∠DAC=30°是解题的关键，在（3）中用M点的坐标表示出△CMN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．