Question

20．已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，求$\frac{AB}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由BE为圆O的切线，BA为圆的弦，即∠EAB为圆弦切角，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角，可得出∠EBA=∠C，根据已知的∠EBC=2∠C，得到∠ABC=∠C，根据等角对等边可得出AB=AC，得证；
（2）连接OA，由AB=AC，根据等弦对等劣弧得到A为弧BC的中点，根据垂径定理的逆定理得到OA垂直于BC，D为BC的中点，再由∠EBA=∠C，由tan∠EBA的值得到tanC的值，即为tan∠ABC的值，在直角三角形ABD中，根据锐角三角函数定义得出AD与BD的比值，设AD=k，则有BD=2k，利用勾股定理表示出AB，再由BC=2BD，表示出BC，即可求出AB与BC的比值．

解答 解：（1）∵BE为圆O的切线，BA为圆的弦，
∴∠EBA为弦切角，
∴∠EBA=∠C，又∠EBC=2∠C，
∴∠EBC=2∠EBA，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC；

（2）连接OA，
∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴OA⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=CD，
∵tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，∠EBA=∠ABC，
∴tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ABD中，tan∠ABC=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
设AD=k，则BD=2k，BC=4k，
在△ABD中，∠ADB=90°，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{{BD}^{2}{+AD}^{2}}$=$\sqrt{5}$k，
则$\frac{AB}{BC}$$\frac{\sqrt{5}k}{4k}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

点评 考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，弦、圆心角及弧之间的关系，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．