Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．若点N是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点M，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

分析 求出求出A、B、C三点坐标，画出图形即可解决问题．

解答 解：存在．理由如下，
对于抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，令y=0得-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x=-1或4；令x=0，得y=2，
∴B（-1.0），A（4，0），C（0，2）．对称轴x=$\frac{3}{2}$．
如图所示，

①当以AC为边时，易知点M的横坐标为$\frac{11}{2}$或-$\frac{5}{2}$，此时M₁（$\frac{11}{2}$，-$\frac{39}{8}$），M₂（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{39}{8}$）．
②当以AC为对角线时，易知点M的横坐标为$\frac{5}{2}$，此时M₃（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{8}$），
综上所述，当点M的坐标为（$\frac{11}{2}$，-$\frac{39}{8}$）或（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{39}{8}$）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{8}$）时，存在以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题考查二次函数的应用、平行四边形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．