Question

如图，△ABE和△ACD有公共点A，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AE=AD，延长BE分别交AC、CD于点M、F．求证：
（1）△ABE≌△ACD；
（2）BF⊥CD．

Answer 1

分析：（1）首先根据同角的余角相等可得∠1=∠3，再加上条件AB=AC，AE=AD可利用SAS定理证明△ABE≌△ACD；
（2）根据△ABE≌△ACD可得∠B=∠C，再根据∠B+∠4=90°，∠4=∠5，可得∠C+∠5=90°，进而得到∠MFC=90°，即BF⊥CD．

解答：证明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△ACD中：
∵

AE=AD ∠1=∠3 AB=AD

∴△ABE≌△ACD（SAS）；

（2）∵△ABE≌△ACD，
∴∠B=∠C，
∵∠B+∠4=90°，
又∵∠4=∠5，
∴∠C+∠5=90°，
∴∠MFC=90°，
∴BF⊥CD．

点评：此题主要考查了全等三角形全等的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的判定方法SSS、SAS、AAS、ASA．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．