Question

3．如图，直线y=kx+b与双曲线y=$\frac{m}{x}$交于点A（n，-2），B（2，1）．
（1）求双曲线及直线的解析式；
（2）已知P（a-1，a）在双曲线上，求P点的坐标；
（3）若$\frac{m}{x}$＜kx+b时，x的取值范围为-1＜x＜0或x＞2；
（4）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出双曲线的解析式，进而可求出点A的坐标，根据A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）将点P的坐标代入双曲线解析式中即可而得出关于a的分式方程，解方程即可求出a的值，将其代入点P的坐标即可得出结论；
（3）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集；
（4）令直线AB与x轴的交点为C，根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积．

解答 解：（1）∵点B（2，1）在双曲线y=$\frac{m}{x}$上，
∴1=$\frac{m}{2}$，解得：m=2，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{2}{x}$．
∵点A（n，-2）在双曲线y=$\frac{2}{x}$上，
∴-2=$\frac{2}{n}$，解得：n=-1，
∴A（-1，-2）．
将点A（-1，-2）、B（2，1）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-2=-k+b}\\{1=2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线的解析式为y=x-1．
（2）∵点P（a-1，a）在双曲线y=$\frac{2}{x}$上，
∴a=$\frac{2}{a-1}$，解得：a=-1或a=2，
经检验：a=-1和a=2都是分式方程a=$\frac{2}{a-1}$的解，
∴点P的坐标为（-2，-1）或（1，2）．
（3）观察函数图象可知：当-1＜x＜0或x＞2时，一次函数图象在双曲线的下方，
∴不等式$\frac{m}{x}$＜kx+b的解集为：-1＜x＜0或x＞2．
故答案为：-1＜x＜0或x＞2．
（4）如图，

令直线AB与x轴的交点为C，
将y=0代入y=x-1中，得x=1，
∴C（1，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$OC•（y_B-y_A）=$\frac{1}{2}$×1×[1-（-2）]=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）由反比例函数图象上点的坐标特征得出关于a的分式方程；（3）根据函数图象的上下位置关系解决不等式；（4）将△AOB分成△AOC和△BOC．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标求出函数解析式是关键．