Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F．

（1）求证：∠E=∠AFE；
（2）若AF=2，BF=5，△ABC的周长为m，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵EP⊥BC，

∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，

∴∠E=∠BFP，

又∵∠BFP=∠AFE，

∴∠E=∠AFE

（2）解：∵∠E=∠AFE，

∴AF=AE，

∴△AEF是等腰三角形．

又∵AF=2，BF=5，

∴CA=AB=7，AE=2，

∴CE=9；

∵0＜BC＜14，

∴14＜△ABC的周长＜28，即14＜m＜28

【解析】（1）根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，从而得出∠D=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠E=∠AFE；（2）根据等角对等边即可得出CE，然后由三角形的三边关系即可得到结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰三角形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．