Question

12．如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标；
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），设点M的横坐标为m．
①若以A为圆心、AM长为半径的圆与直线BC相切，求点M的坐标；
②过点M作MN∥y轴交抛物线于N，连接NB、NC，当△BNC的面积取最大值时，求m的值．
③在②的条件下．求sin∠CBN的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用y=0时求出x的值即为图象与x轴交点，再利用x=0求出y=3即可得出图象与y轴交点；
（2）首先求出直线AB的解析式，进而表示出M点坐标，
①在直角三角形AMD中，利用勾股定理得出m的值即可得出答案；
②利用S_△BCN=S_△CMN+S_△MNE=$\frac{1}{2}$•|MN|•|OB|，进而利用二次函数最值求法得出即可；
③利用锐角三角函数关系得出sin∠MNH=$\frac{MH}{MN}=\frac{BD}{NB}$，再利用勾股定理得出MH的值，进而得出答案．

解答 解：（1）当y=0，则0=-x²+2x+3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
故A（-1，0）、B（3，0），
当x=0，则y=3，
故C（0，3）；

（2）设直线BC：y=kx+b（k≠0），
把B（3，0）、C（0，3）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB：y=-x+3．
∴M（m，-m+3），
①如图1，连接AC，当AM⊥BC时，若以A为圆心、AM长为半径的圆与直线BC相切，
在△ABC中：AB×OC=BC×AM，
∴AM=2$\sqrt{2}$，
设MN与x轴的交点为D，则MN⊥x轴，
在直角三角形AMD中，
∵AM²=AD²+MD²，
∴（2$\sqrt{2}$）²=（m+1）²+（3-m）²
解得：m=1，
∴点M的坐标为（1，2）；

②如图2，连接BN，CN，
S_△BCN=S_△CMN+S_△MNE=$\frac{1}{2}$•|MN|•|OB|，
∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大．
MN=-m²+3m=-（m²-3m+$\frac{9}{4}$）+$\frac{9}{4}$=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
所以当m=$\frac{3}{2}$时，△BNC的面积最大为：$\frac{1}{2}×\frac{9}{4}$×3=$\frac{27}{8}$；

③如图2，过M作MH⊥NB，垂足为H，
在△MNH和△NDB中，
∠MHN=∠NDB=90°，
∴sin∠MNH=$\frac{MH}{MN}=\frac{BD}{NB}$，
∵m=$\frac{3}{2}$，
∴BD=MD=$\frac{3}{2}$ND=$\frac{15}{4}$MN=$\frac{9}{4}$，
又BN²=DN²+DB²，BN=$\frac{3}{4}\sqrt{29}$，
∴MH=$\frac{9}{58}\sqrt{29}$，
∵点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），B（3，0），
∴DM=DB=$\frac{3}{2}$，
则BM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在△BMH中，∠MHB=90°，
∴sin∠CBN=$\frac{MH}{BM}$=$\frac{\frac{9}{58}\sqrt{29}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{3}{58}\sqrt{58}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合应用以及锐角三角函数关系、勾股定理、待定系数求一次函数解析式等知识，利用数形几何得出m的值是解题关键．