【题目】如图1,AB=AC,EF=EG,△ABC≌△EFG,AD⊥BC于点D,EH⊥FG于点H
(1) 直接写出AD、EH的数量关系:___________________
(2) 将△EFG沿EH剪开,让点E和点C重合
① 按图2放置△EHG,将线段CD沿EH平移至HN,连接AN、GN,求证:AN⊥GN
② 按图3放置△EHG,B、C(E)、H三点共线,连接AG交EH于点M.若BD=1,AD=3,求CM的长度
【答案】(1)AD=EH;(2)见解析;(3)CM=2.
【解析】
(1)由△ABC≌△EFG,可知面积相等,利用面积公式可得高相等;
(2)如图所示,设AN、CH交于点P,CH、NG交于点O,由CD平移到NH可知四边形CDNH为平行四边形,所以CH=DN=AD,可得出△AND为等腰三角形,再由GH=CD=NH可得出△GHN为等腰三角形,由于两个等腰三角形顶角相等,可推出底角相等,在△OPN和△OGH中,可由∠OPN=∠PND=∠NGH,可推出∠PNO=90°,则AN⊥GN;
(3由AD⊥BH,GH⊥BH,可得AD∥GH,所以,再由DH=DC+EH=1+3=4,
可求出DM=3,∴CM=3-1=2.
解:(1)∵△ABC≌△EFG,
∴BC=FG,
∴
∴AD=EH
(2)如图所示,设AN、CH交于点P,CH、NG交于点O
CD平移到NH可得四边形CDNH为平行四边形
∴CH=DN,∠CDN=∠CHN,DN∥CH
又∵EH=AD,∴AD=DN,即△AND为等腰三角形
∵GH=CD=NH,∴△GHN为等腰三角形,
∵∠ADN=∠ADC+∠CDN=90°+∠CDN
∠NHG=∠CHG+∠CHN=90°+∠CHN
而∠CDN=∠CHN
∴∠ADN=∠NHG,
∴,
∴∠AND=∠NGH
又∵DN∥CH,∴∠AND=∠NPH,∴∠NGH=∠NPH
在△OPN和△OGH中
∠NPH=∠NGH,∠PON=∠GOH,
∴∠PNO=∠OGH=90°,
∴AN⊥GN
(3)由△ABC≌△EFG可得CD=BD=1,EH=AD=3
∵AD⊥BH,GH⊥BH
∴AD∥GH,∴,∴
又∵DH=DC+EH=1+3=4
∴DM=3,
∴CM=DM-DC=3-1=2.
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【题目】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:3+2=(1+
)2,善于思考的小明进行了以下探索:
设a+b=(m+n
)2(其中a、b、m、n均为整数),则有a+b
=m2+2n2+2mn
,∴a=m2+2n2,b=2mn,这样小明就找到了一种把部分a+b
的式子化为平方式的方法。
请我仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b=(m+n
)2,用含m、n的式子分别表示a、b,得a=________, b=___________.
(2)若a+4=(m+n
)2,且a、m、n均为正整数,求a的值。
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【题目】我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解.并规定:F(n)= .例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12﹣1>6﹣2>4﹣3,所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)=
.
(1)若F(a)=且a为100以内的正整数,则a=________;
(2)如果m是一个两位数,那么试问F(m)是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大(或最小)值以及此时m的取值并简要说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,将△ABE沿AE折叠,使点B落在AC上的点Bˊ处,又将△CEF沿EF折叠,使点C落在射线EBˊ与AD的交点Cˊ处,则的值( )
A. 2 B. C.
D.
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【题目】先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:
解方程()2﹣6(
)+5=0
解:令=y,代入原方程后,得:
y2﹣6y+5=0
(y﹣5)(y﹣1)=0
解得:y1=5 y2=1
∵=y
∴=5或
=1
①当=1时,方程可变为:
x=5(x﹣1)
解得x=
②当=1时,方程可变为:
x=x﹣1
此时,方程无解
检验:将x=代入原方程,
最简公分母不为0,且方程左边=右面
∴x=是原方程的根
综上所述:原方程的根为:x=
根据以上材料,解关于x的方程x2++x+
=0.
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【题目】某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A:篮球 B:乒乓球C:羽毛球 D:足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有 人;
(2)请你将条形统计图(2)补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
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【题目】如图,已知∠1=∠2,AC=AD,要使△ABC≌△AED,还需添加一个条件,那么在①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,这四个关系中可以选择的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
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【题目】已知,如图所示,正方形的边长为1,
为
边上的一个动点(点
与
、
不重合),以
为一边向正方形
外作正方形
,连接
交
的延长线于点
.
(1)求证:①≌△
. ②
.
(2)当平分
时,求
的长.
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