【题目】已知:如图,AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,DE⊥AC于E.
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)G是ED上一点,连接BE交圆于F,连接AF并延长交ED于G.若GE=2,AF=3,求EF的长.
【答案】(1)见解析;(2)∠EAF的度数为30°
【解析】
(1)连接OD,如图,先证明OD∥AC,再利用DE⊥AC得到OD⊥DE,然后根据切线的判定定理得到结论;
(2)利用圆周角定理得到∠AFB=90°,再证明Rt△GEF∽△Rt△GAE,利用相似比得到 于是可求出GF=1,然后在Rt△AEG中利用正弦定义求出∠EAF的度数即可.
(1)证明:连接OD,如图,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE为⊙O的切线;
(2)解:∵AB为直径,
∴∠AFB=90°,
∵∠EGF=∠AGF,
∴Rt△GEF∽△Rt△GAE,
∴,即
整理得GF2+3GF﹣4=0,解得GF=1或GF=﹣4(舍去),
在Rt△AEG中,sin∠EAG
∴∠EAG=30°,
即∠EAF的度数为30°.
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【题目】如图,某中学在教学楼前新建了一座雕塑.为了测量雕塑的高度,小明在二楼找到一点
,利用三角尺测得雕塑顶端点
的仰角为
,底部点
的俯角为
,小华在五楼找到一点
,利用三角尺测得点
的俯角为
.若
为
,则雕塑
的高度为________
.(结果精确到
,参考数据:
).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,设点P到原点O的距离为ρ,OP与x轴正方向的夹角为α,则用[ρ,α]表示点P的极坐标,例如:点P的坐标为(1,1),则其极坐标为[,45°].若点Q的极坐标为[4,120°],则点Q的坐标为( )
A. (-2,2) B. (2,-2
) C. (-2
,-2) D. (-4,-4
)
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,顶点C的纵坐标为﹣2,现将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线y=a1x2+b1x+c1,则下列结论:①b>0;②a﹣b+c<0;③阴影部分的面积为4;④若c=﹣1,则b2=4a.其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】在如图的正方形网格中,每一个小正方形的边长为1.格点三角形(顶点是网格线交点的三角形)的顶点
的坐标分别是
.
(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系;
(2)请画出关于
轴对称的
;
(3)请在轴上求作一点
,使
的周长最小,并写出点
的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=4 cm,AC=2 cm.
(1)在AB上取一点D,当AD=_________cm时,△ACD∽△ABC.
(2)在AC的延长线上取一点E,当CE=________cm时,△AEB∽△ABC此时BE与DC有怎样的位置关系?________
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【题目】天津市奥林匹克中心体育场—“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内,某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观,一部分同学骑自行车先走,过了20分钟后,其余同学乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍,求骑车同学的速度.
(1)设骑车同学的速度为x千米/时,利用速度、时间、路程之间的关系填写下表.(要求:填上适当的代数式,完成表格)
速度(千米/时) | 所用时间(时) | 所走的路程(千米) | |
骑自行车 | x | 10 | |
乘汽车 | 10 |
(2)列出方程(组),并求出问题的解.
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