Question

12．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥AC，且AD=AC，AF⊥BC，交BD于点F，
（1）求证：CF⊥BD；
（2）作AG⊥BD于G，求证：DF-CF=2AG．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠D=∠ACF，由“8字型”可以证明∠OFC=∠DAO，由此解决问题．
（2）在DB上截取AM=AF，只要证明△AFG，△AMG是等腰直角三角形，△ACF≌△ADM即可解决问题．

解答 （1）证明：设AC与BD交于点O．
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴AF垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，
∴∠ABF=∠ACF，
∵AB=AD，
∴∠ABF=∠ADB=∠ACF，
∵∠AOD=∠FOC，∠DAO+∠AOD+∠D=180°，∠OFC+∠FOC+∠OCF=180°，
∴∠OFC=∠DAO=90°，
∴CF⊥BD．

（2）在DB上截取AM=AF．
∵FB=FC，∠BFC=90°，
∴∠FBC=∠FCB=45°，
∴2∠FAC+2∠FCA=90°，
∴∠FAC+∠FCA=45°，
∵AG⊥BD，CF⊥BD，
∴AG∥CF，
∴∠FCA=∠OAG，
∴∠FAG=∠FAC+∠OAG=∠FAO+∠ACF=45°，
∴∠AFM=∠AMF=∠FAG=∠GAM=45°，
∴∠AMD=∠AFC=135°，AG=FG=GM，
在△ACF和△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ACF}\\{∠AMD=∠AFC}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ADM，
∴DM=CF，
∴DF-CF=DM+2AG-CF=2AG．

点评 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“8字型”证明角相等，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．