Question

如图，已知点A在函数y=

1

x

（x＞0）的图象上，点B在函数y=-

3

x

（x＜0）的图象上，点C在函数y=

6

x

（x＜0）的图象上，且AB∥x轴，BC∥y轴，四边形ABCD是以AB、BC为一组邻边的矩形．
（1）若点A的坐标为（

1

2

，2），求点D的坐标；
（2）若点A在函数y=

1

x

（x＞0）上移动，矩形ABCD的面积是否变化？如果不变，求出其面积；
（3）若矩形ABCD四个顶点A、B、C、D分别在y=

k1

x

(k1＞0，x＞0），y=

k2

x

(k1＜0，x＜0），y=

k3

x

(k1＞0，x＜0），y=

k4

x

(k1＜0，x＞0）上，请直接写出k₁、k₂、k₃、k₄满足的数量关系式．

Answer 1

分析：（1）根据平行于x轴上的两点其纵坐标相同，平行于y轴上的两点其横坐标相同，以及点在函数的图象上即点的坐标满足函数的解析式，即可求出点D的坐标；
（2）设A（a，

1

a

），用含a的代数式分别表示B、C、D三点的坐标，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知矩形ABCD的面积是一个固定的常数，因而面积不变；
（3）设A（t，

k1

t

），则可用含t的代数式分别表示B、C、D三点的坐标，然后根据点D也在y=

k4

x

的图象上，所以点D的坐标满足此函数的解析式，从而得出k₁、k₂、k₃、k₄满足的数量关系式．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（

1

2

，2），AB∥x轴，
∴B点纵坐标为2，
又点B在函数y=-

3

x

（x＜0）的图象上，
∴当y=2时，x=-1.5，∴B（-1.5，2），
∵BC∥y轴，
∴C点横坐标为-1.5，
又点C在函数y=

6

x

（x＜0）的图象上，
∴当x=-1.5时，y=-4，∴C（-1.5，-4）．
∵AD⊥y轴，
∴D（0.5，-4）．

（2）若点A在函数y=

1

x

（x＞0）上移动，矩形ABCD的面积不变．理由如下：
如图，设AB、CD与y轴分别交于F、G，BC、AD与x轴分别交于E、H，设A（a，

1

a

），则B（-3a，

1

a

），C（-3a，-

2

a

），D（a，-

2

a

）．
∵矩形ABCD的面积=矩形AFOH的面积+矩形BFOE的面积+矩形CEOG的面积+矩
形DHOG的面积=1+3+6+2=12．

（3）设A（t，

k1

t

），则B（

k2t

k1

，

k1

t

），C（

k2t

k1

，

k3k1

k2t

），D（t，

k3k1

k2t

），
又∵点D在y=

k4

x

的图象上，
t•

k3k1

k2t

=k₄，
∴k₁k₃=k₂k₄．

点评：本题主要考查了平行于x轴上的两点与平行于y轴上的两点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义等知识，难度较大．