Question

11．已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有①③．
①CF=c-a；②AE=$\frac{1}{2}$（a+b）；③DE=$\frac{1}{2}$（a+b-c）；④DF=$\frac{1}{2}$（b+c-a）

Answer 1

分析 延长AE交BC的延长线与点M，则△ACM是等腰三角形，即可证明E是AM的中点，则DE是三角形的中位线，利用三角形的中位线定理求解．

解答 解：延长AE交BC的延长线与点M．
∵CE⊥AE，CE平分∠ACB，
∴△ACM是等腰三角形，
∴AE=EM，AC═CM=b，
同理，AB=BF=c，AD=DF，AE=EM．
∴DE=$\frac{1}{2}$FM，
∵CF=c-a，
∴FM=b-（c-a）=a+b-c．
∴DE=$\frac{1}{2}$（a+b-c）．
故①③正确．
故答案是：①③．

点评 此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是关键．