如图,六边形ABCDEF内接于半径为r(常数)的⊙O,其中AD为直径,且AB=CD=DE=FA.
(1)当∠BAD=75°时,求的长;
(2)求证:BC∥AD∥FE;
(3)设AB=x,求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式,并指出x为何值时,L取得最大值.
(1)连结OB、OC,由∠BAD=75°,OA=OB知∠AOB=30°, (1分) ∵AB=CD,∴∠COD=∠AOB=30°,∴∠BOC=120°, (2分) 故的长为. (3分) (2)连结BD,∵AB=CD,∴∠ADB=∠CBD,∴BC∥AD, (5分) 同理EF∥AD,从而BC∥AD∥FE. (6分) (3)过点B作BM⊥AD于M,由(2)知四边形ABCD为等腰梯形,从而BC=AD-2AM=2r-2AM. (7分) ∵AD为直径,∴∠ABD=90°,易得△BAM∽△DAB ∴AM==,∴BC=2r-,同理EF=2r- (8分) ∴L=4x+2(2r-)==,其中0<x< (9分) ∴当x=r时,L取得最大值6r. (10分) |
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