Question

（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）

已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，EF垂直平分AC，垂足为O，联结AF、CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）点P在线段AC上，满足，求证：CD∥PE．

 

Answer 1

【答案】

（1）四边形AFCE是菱形，（2）CD//PE.

【解析】

试题分析：证明：（1）∵四边形ABCD矩形，∴AD∥BC，∴         （2分）

∵EF平分AC，∴AO=OC，∴EO=OF         （1分）

∴四边形AFCE是平行四边形        （1分）

∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形.  （1分）

（2）∵EF垂直平分AC，∴AC=2AO，∠AOE=90°       （1分）

∵，∴，∴     （1分）

∵∠EAP=∠OAE，∴△AOE∽△AEP         （1分）

∴∠AEP=∠AOE=90°         （1分）

又∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°          （1分）

∴∠AEP=∠D       （1分）

∴CD∥PE        （1分）

考点：平行四边形的定义及性质，菱形的定义及性质，矩形的定义及性质，相似三角形的定义及判定。

点评：熟练掌握以上几个特殊图形的概念及性质，结合已知不难求出结论，对概念性质的理解是解决本题的关键，利用相似三角形的性质，得到边与边，角与角的关系，本题属于中档题，有一定的难度。