Question

12．在平面直角坐标系中，已经A（8，0），B（0，6）
（1）利用尺规作出△AOB的外接圆⊙M；（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）①在你所作的⊙M中，过点B的切线BC交x轴于点C，求直线BC的解析式．
②若∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长度．

Answer 1

分析 （1）分别作OA，AB的垂直平分线交点即为外接圆圆心M，以AM长为半径画圆即可；
（2）①点B作⊙M的切线l交x轴于C，根据切线的性质得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以$\frac{OB}{OC}=\frac{OA}{OB}$，可解得OC=$\frac{9}{2}$，则C点坐标为（-$\frac{9}{2}$，0），最后运用待定系数法确定BC的解析式；
（3）作ND⊥x轴，连结AE，易得△NOD为等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=$\sqrt{2}$ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，则ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8-ND）：8，解得ND的长，所以OD的长可求，进而可求出ON，即可确定N点坐标；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN的长，则BN=10-AN，然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE计算即可．

解答 解：（1）如图所示：

（2）过点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图1所示，

∵BC与⊙M相切，AB为直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=∠ABC=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽Rt△BCO，
∴$\frac{OB}{OC}=\frac{OA}{OB}$，
即$\frac{6}{OC}=\frac{8}{6}$，
解得OC=4.5，
∴C点坐标为（-4.5，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，6）、C点（-4.5，0）分别代入$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-4.5k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+6；
（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图1，
∵∠BOA的平分线交AB于点N，
∴△NOD为等腰直角三角形，
∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（8-ND）：8，解得ND=$\frac{24}{7}$，
∴OD=$\frac{24}{7}$，ON=$\sqrt{2}$ND=$\frac{24\sqrt{2}}{7}$，
∴N点坐标为（$\frac{24}{7}$，$\frac{24}{7}$）；
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即$\frac{24}{7}$：6=AN：10，解得AN=$\frac{40}{7}$，
∴BN=10-$\frac{40}{7}$=$\frac{30}{7}$，
∵∠OBA=∠OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即$\frac{30}{7}$：NE=$\frac{24\sqrt{2}}{7}$：$\frac{40}{7}$，解得NE=$\frac{25\sqrt{2}}{7}$，
∴OE=ON+NE=$\frac{24\sqrt{2}}{7}$+$\frac{25\sqrt{2}}{7}$=7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题：掌握切线的性质、圆周角定理及其推论；学会运用待定系数法求函数的解析式；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．