Question

（2012•茂名）阅读下面材料，然后解答问题：
在平面直角坐标系中，以任意两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为端点的线段的中点坐标为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=

-3

x

（x＜0）和y=

k

x

（x＞0）的图象关于y轴对称，直线y=

1

2

x+

5

2

与两个图象分别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC、OB．
（1）求a、b、k的值及点C的坐标；
（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）首先把A（a，1），B（1，b）代入y=

-3

x

和y=

1

2

x+

5

2

可以得到方程组，解方程组即可算出a、b的值，继而得到A、B两点的坐标，再把B点坐标代入双曲线y=

k

x

（x＞0）上，即可算出k值，再根据中点坐标公式算出C点坐标；
（2）此题分三个情况：①四边形OCDB是平行四边形，②四边形OCBD是平行四边形，③四边形BODC是平行四边形．根据点的平移规律可得到D点坐标．

解答：解：（1）依题意得

1= -3 a b= 1 2 ×1+ 5 2

，
解得

a=-3 b=3

，
∴A（-3，1），B（1，3），
∵点B在双曲线y=

k

x

（x＞0）上，
∴k=1×3=3，
∵点C为线段AB的中点，
∴点C坐标为（

-3+1

2

，

1+3

2

），即为（-1，2）；

（2）将线段OC平移，使点O（0，0）移到点B（1，3），则点C（-1，2）移到点D（0，5），此时四边形OCDB是平行四边形；
将线段OC平移，使点C（-1，2）移到点B（1，3），则点O（0，0）移到点D（2，1），此时四边形OCBD是平行四边形；
线段BO平移，使点B（1，3）移到点C（-1，2），则点O（0，0）移到点D（-2，-1），此时四边形BODC是平行四边形．
综上所述，符合条件的点D坐标为（0，5）或（2，1）或（-2，-1）．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是掌握凡是图象经过的点必能满足解析式．