Question

8．在△ABC中，∠B=∠C=30°，BC=6，则△ABC的内切圆半径与△ABC的外接圆的直径的和为（　　）

• A． 6-$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 6-3$\sqrt{3}$
• D． 6+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作辅助线，构建两个30°的直角三角形，根据垂径定理可知：过圆心，且经过弧的中点的直线垂直于弦，平分弦，又由三角形角平分线的交点是内切圆圆心可知：AE是△ABC的高线，中线，所以也是顶角平分线，因此外接圆直径也过内切圆圆心O，分别设DE=x，AF=y，表示出内切圆和外接圆半径，利用勾股定理建立等量关系，求出x和y，最后计算出结论．

解答 解：设△ABC的内切圆的圆心为O，外接圆的圆心为D，做直径AD，交BC于E，连接BD，过O做OF⊥AC，垂足为F，
∵∠B=∠C=30°，
∴AB=AC，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，∠ADB=60°，
∴AD⊥BC，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
在Rt△BED中，∠DBE=90°-60°=30°，
设DE=x，则BD=2x，
由勾股定理得：（2x）²=3²+x²，
x=±$\sqrt{3}$，
∵x=-$\sqrt{3}$不符合题意，
∴BD=2x=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AOF中，∠OAF=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠AOF=30°，
设AF=y，则AO=2y，OF=OE=$\sqrt{3}$y，
则2y+$\sqrt{3}$y=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$，
y=2$\sqrt{3}$-3，
∴OF=$\sqrt{3}$（2$\sqrt{3}$-3）=6-3$\sqrt{3}$，
∴△ABC的内切圆半径与△ABC的外接圆的直径的和=6-3$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$=6+$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了三角形的内切圆和外接圆的圆心与半径的问题，解决此类问题的一般思路是：构建直角三角形，设半径为x，利用勾股定理列方程即可求解；同时还要熟练掌握等腰三角形三线合一的性质及直角三角形中30°角的性质，它们在几何证明中运用比较广泛．