Question

奇异果是新西兰的特产，其实它的祖籍在中国，又名“猕猴桃”．奇异果除了富含维他命C、A、E以及钾、镁、纤维素外，还含有其它水果中很少见的营养成分--叶酸、胡萝卜素、钙、黄体素、氨基酸，因而被营养师称之为“营养活力的来源”．2011年1月份至6月份重庆某大型超市新西兰品种的奇异果销售价格y（元/盒）与月份x（1≤x≤6，且x为整数）之间的函数关系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6
销售价格y	90	45	30	22.5	18	15

7月份至12月份奇异果的销售价格y（元/盒）与月份x之间满足函数关系式：y=2x+20（7≤x≤12且x为整数）．该超市去年奇异果销售数量z（盒）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间存在如图所示的变化趋势．若去年该超市奇异果的进价为每盒20元，销售奇异果需要一名超市员工，该员工每月固定人工费用为1500元．
（1）请观察图中的表格用所学过的一次函数、反比例函数以及二次函数的有关知识直接写出2011年1月份至6月份销售价格y与x之间的函数关系式；根据如图所示的变化趋势，直接写出去年每月销售数量z与x之间满足的函数关系式；
（2）求出去年每月该超市的利润w（元）与月份x之间满足的函数关系式．（利润=收入-成本-费用）
（3）从今年1月份开始为了调动员工的积极性，超市决定每卖出一盒奇异果，该员工还可提成2元，奇异果的进价为每盒26元，虽然今年1月份奇异果的销售价格比去年12月份增加4元，但1月份销售数量仍比去年12月份增加了0.4a%；2月份销售价格在1月份的基础上增加了0.5a%，由于其它水果陆续上市，2月份的销售量与1月份持平，这样2月份的利润达到了15780元，请参考以下数据，求出整数a的值．（参考数据：45²=2025，46²=2116，47²=2209）

Answer 1

解：（1）设2011年1月份至6月份销售价格y与x之间的函数关系式为y=，由统计表为：
45=，
k=90，
∴y=（1≤x≤6）；
设1月份至6月份z₁与x之间的函数关系式为z₁=k₁x+b₁，由图象，得
，
解得：，
∴z₁=150x，（1≤x≤6，x为整数）
当x=6时，z₁=900
设7月份至12月份z2与x之间的函数关系式为z₂=k₂x+b₂，由图象，得
，
解得：，
∴z₂=-50x+1200（7≤x≤12，x为整数），

（2）设去年每月该超市的利润w（元），由题意，得
当1≤x≤6，x为整数时，
w₁=（-20）×150x-1500，
w₁=-3000x+12000；
当7≤x≤12，x为整数时，
w₂=（2x+20-20）（-50x+1200）-1500，
w₂=-100x²+2400x-1500，

（3）由题意，得
去年12月的销售价格：y=2×12+20=44元，
今年1月份的销售价格为：44+4=48元，
去年12月的销售数量为：600盒，
今年1月份的销售数量为600（1+0.4a%）盒，
2月份的销售价格为48（1+0.5a%）元，
∴[48（1+0.5a%）-26-2][600（1+0.4a%）]-1500=15780，
设a%=m，则有：
[48（1+0.5m）-26-2][600（1+0.4m）]-1500=15780，
整理，得
12m²+40m-11=0，
∴m=，
m=．
∵46²=2116，
∴m₁=0.25，m₂=-3.58．
∴a%=0.25或a%=-3.58，
∴a₁=25，a₂=-358（舍去），
∴a=25．
分析：（1）设2011年1月份至6月份销售价格y与x之间的函数关系式为y=，由统计表建立方程组求出其解；设1月份至6月份z₁与x之间的函数关系式为z₁=k₁x+b₁，7月份至12月份z2与x之间的函数关系式为z₂=k₂x+b₂，根据题意求出结论即可；
（2）设去年每月该超市的利润w（元），根据利润=收入-成本-费用表示出w就可以求出w与x之间的函数关系式；
（3）根据题意可以求出去年12月的销售价格：y=2×12+20=44元，今年1月份的销售价格为：44+4=48元，去年12月的销售数量为600盒，今年1月份的销售数量为600（1+0.4a%）盒，2月份的销售价格为48（1+0.5a%）元，根据2月份的利润为15780元为等量关系建立方程求出其解即可．
点评：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式的运用，一次函数的运用，二次函数的解析式的运用，根据条件列一元二次方程解实际问题的运用，解答时求函数的解析式是重点，根据2月份的利润为15780元建立方程是求a值得关键．