Question

已知，如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5cm，CD=6cm，∠DCB=60°，∠ABC=90度．等边三角形MPN（N为不动点）的边长为acm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线l上，NC=8cm．将直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去．
（1）将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？
（2）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？
（3）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？

Answer 1

分析：（1）因为∠DCB=60°，△PMN也是等边三角形，这样容易知道△EGN也是等边三角形，易求GN=2，所以求两图形重叠部分的面积就可以求出；
（2）如图，等边三角形的边长MN=GN+HG+MH，其中只要求MH，利用已知解Rt△KHM就可以了；
（3）若现在重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积的一半，如图首先判断HG的大小，梯形ABCD的面积可以直接求出；然后设HG为x，根据已知条件可以得到关于x的方程，解方程就可以得到题目的结果．

解答：解：（1）因为CB=5，CN=8所以GN=2．
又因为∠PNM=60°且∠EGN=60°，
所以△EGN为正三角形．
所以△EGN的高为h=

3

．
所以S_△EGN=

1

2

×2×

3

=

3

．（3分）

（2）在直角梯形ABCD中，
因为CD=6，∠DCB=60°，
所以AB=3

3

．
在Rt△KHM中，tan30°=

MH

KH

，
MH=3

3

×

3

3

=3，
所以MN=2+5+3=10．（6分）

（3）S_梯形ABCD=

1

2

(2+5)•3

3

=

21 3

2

．
当MP经过H点时，交D′G于F，
则S△HGF=

1

2

×5×

5 3

2

=

25 3

4

＞

1

2

S_梯形ABCD．
所以HG＜5，设HG=x，则有h′=

3

2

x．
所以S_公共部分=

1

2

x•

3

2

x=

21 3

4

．

3

4

x2=

21 3

4

所以x=

21

．
因为GN=2，
所以等边三角形PNM的边长a为（

21

+2）cm．（10分）

点评：此题比较难，图形变换比较复杂，考查了等边三角形的性质，面积计算，也考查了解直角三角形的知识，综合性比较强