Question

7．如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，且M是AB的中点，以OM为直径⊙P分别交x轴、y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连接DE交OM于点K，若点M的坐标为（3，4）
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求ME的长．

Answer 1

分析 （1）连接DM，MC，由三角形中位线定理求得A，B两点的坐标；
（2）要求ME的长，由ME=BE-BM知只要求出BE和BM的长即可，BM的长可由AB长的一半求得，而AB长可由勾股定理求得；BE的长可由△OBM∽△EBD的对应边成比例列式求得．

解答 解：（1）连接MD、MC．

∵OM是⊙P的直径，
∴∠MDO=∠MCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴MD∥OA，MC∥OB．
∵点M是AB的中点，
∴点D是AB的中点，点C是OA的中点．
∵点M的坐标为（3，4），
∴OB=2MC=8，OA=2MD=6．
∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0）．
（2）在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，由勾股定理得；AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∵点M是AB的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$．
∵∠BOM=∠BED，∠OBM=∠EBD，
∴△OBM∽△EBD．
∴$\frac{BM}{BD}=\frac{BO}{BE}$．
∴BE=$\frac{BO•BD}{BM}=\frac{4×8}{5}=6.4$．
∴ME=BE-BM=6.4-5=1.4．

点评 本题主要考查的是圆周角定理、三角形的中位线定理、勾股定理、相似三角形的性质和判定的综合应用，证得△OBM∽△EBD是解题的关键．