Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF的延长线交⊙O于点D，且AE=BF，∠EOF=60°．

（1）求证：△OEF是等边三角形；

（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）作OC⊥AB于点C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根据AE=BF可知EC=FC，因为OC⊥EF，所以OE=OF，再由∠EOF=60°即可得出结论．

（2）在等边△OEF中，因为∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的长，根据S阴影=S扇形AOD﹣S△AOF即可得出结论．

解：（1）证明：作OC⊥AB于点C，

∵OC⊥AB，∴AC=BC．

∵AE=BF，∴EC=FC．

∵OC⊥EF，∴OE=OF．

∵∠EOF=60°，∴△OEF是等边三角形．；

（2）∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，

∴∠A=∠AOE=30°．∴∠AOF=90°．

∵AO=10，∴OF= ．

∴, ．

∴．