Question

17．如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形ODEF，此时直线OD、直线EF分别与直线BC相交于点P，Q．
（1）求证：PQ=OP；
（2）如图②，当四边形ODEF的顶点E落在y轴正半轴上时，求$\frac{BP}{BQ}$的值；
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=$\frac{1}{2}$BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先作PG⊥OA于点G，QH⊥OD于点H，根据点B、C的坐标，判断出AO=BC=DO=EF=8，AB=DE=OC=OF=6；然后解直角三角形，分别求出OP、PQ的值，推得PQ=OP即可．
（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△COP∽△DOE，即可推得$\frac{CP}{DE}=\frac{OC}{OD}$，求出CP、BP的值各是多少；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△ECQ∽△EFO，即可推得$\frac{CQ}{FO}=\frac{EC}{EF}$，求出CQ、BQ的值各是多少；最后根据求出的BP、BQ的值，求出$\frac{BP}{BQ}$的值是多少即可．
（3）存在这样的点P和点Q，使BP=$\frac{1}{2}$BQ．首先过点Q作QH⊥OD于点H，连接OQ，则QH=OC=6，根据${S}_{△OPQ}=\frac{1}{2}PQ•OC$，${S}_{△OPQ}=\frac{1}{2}OP•QH$，推得PQ=OP，设BP=x，则BQ=2x；然后分两种情况：①当点P在点B左侧时；②当点P在点B右侧时；分类讨论，求出CP的值，即可求出点P的坐标是多少即可．

解答 （1）证明：如图①，作PG⊥OA于点G，QH⊥OD于点H，
，
∵点B（-8，6），C（0，6），
∴AO=BC=DO=EF=8，AB=DE=OC=OF=6，
∴PG=AB=6，QH=DE=6，
∴OP=$\frac{PG}{sinα}=\frac{6}{sinα}$，
∵BQ∥AO，
∴∠HPQ=α，
∴PQ=$\frac{QH}{sinα}$=$\frac{6}{sinα}$，
∴PQ=OP．

（2）解：如图②，
，
在△COP和△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POC=∠EOD}\\{∠PCO=∠EDO=90°}\end{array}\right.$
∴△COP∽△DOE，
∴$\frac{CP}{DE}=\frac{OC}{OD}$，
即$\frac{CP}{6}=\frac{6}{8}$，
解得CP=4.5，
∴BP=BC-CP=8-4.5=3.5；
在△ECQ和△EFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEQ=∠FEO}\\{∠ECQ=∠EFO=90°}\end{array}\right.$
∴△ECQ∽△EFO，
∴$\frac{CQ}{FO}=\frac{EC}{EF}$，
∵EO=$\sqrt{{6}^{2}{+8}^{2}}=10$，
∴$\frac{CQ}{6}=\frac{10-6}{8}$，
解得CQ=3，
∴BQ=BC+CQ=8+3=11，
∴$\frac{BP}{BQ}$=$\frac{7}{22}$．

（3）解：存在这样的点P和点Q，使BP=$\frac{1}{2}$BQ．
过点Q作QH⊥OD于点H，连接OQ，
则QH=OC=6，
∵${S}_{△OPQ}=\frac{1}{2}PQ•OC$，${S}_{△OPQ}=\frac{1}{2}OP•QH$，
∴PQ=OP，
设BP=x，
∵BP=$\frac{1}{2}$BQ，
∴BQ=2x．
①如图③，当点P在点B左侧时，
，
OP=PQ=BQ+BP=x+2x=3x，
CP=BP+BC=x+8，
在Rt△COP中，由勾股定理，可得
（x+8）²+6²=（3x）²，
解得x=1+$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$或x=1-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$，
∵1-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$＜0，
∴x=1-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$不符合题意，
∴x=1+$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$，
∴CP=BP+BC=1+$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$+8=9+$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$，
∴P（-9-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$，6）．

②如图④，当点P在点B右侧时，
，
OP=PQ=BQ-BP=2x-x=x，
CP=BC-BP=8-x，
在Rt△COP中，由勾股定理，可得
（8-x）²+6²=x²，
解得x=$\frac{25}{4}$，
∴CP=BC-BP=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴P（-$\frac{7}{4}$，6）．
综上，可得存在这样的点P和点Q，使BP=$\frac{1}{2}$BQ，点P的坐标是（-9-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$，6）或（-$\frac{7}{4}$，6）．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（3）此题还考查了平行线的性质，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．