已知:如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G,且BE=1.
(1)求证:△ABE≌△BCF;
(2)求出△ABE和△BCF重叠部分(即△BEG)的面积;
(3)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′(如图2),使点E落在CD边上的点E′处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由.
(1)证明见解析(2)(3)没有变化,理由见解析
【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。
∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中,∵∠ABE=∠BCF,AB=BC,∠BAE=∠CBF,
∴△ABE≌△BCF(ASA)。
(2)解:∵正方形面积为3,∴AB=。
在△BGE与△ABE中,∵∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°,∴△BGE∽△ABE。
∴。
又∵BE=1,∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。
∴。
(3)解:没有变化。理由如下:
∵AB=,BE=1,∴。∴∠BAE=30°。
∵AB′=AD,∠AB′E′=∠ADE'=90°,AE′= AE′,∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。
∴AB′与AE在同一直线上,即BF与AB′的交点是G。
设BF与AE′的交点为H,
则∠BAG=∠HAG=30°,而∠AGB=∠AGH=90°,AG= AG,∴△BAG≌△HAG。
∴。
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化。
(1)由四边形ABCD是正方形,可得∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,又由AE⊥BF,由同角的余角相等,即可证得∠BAE=∠CBF,然后利用ASA,即可判定:△ABE≌△BCF。
(2)由正方形ABCD的面积等于3,即可求得此正方形的边长,由在△BGE与△ABE中,∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°,可证得△BGE∽△ABE,由相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得答案。
(3)由正切函数,求得∠BAE=30°,易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,可得AB′与AE在同一直线上,即BF与AB′的交点是G,然后设BF与AE′的交点为H,可证得△BAG≌△HAG,从而证得结论
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科目:初中数学 来源:2012年初中毕业升学考试(湖南益阳卷)数学(带解析) 题型:解答题
已知:如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G,且BE=1.
(1)求证:△ABE≌△BCF;
(2)求出△ABE和△BCF重叠部分(即△BEG)的面积;
(3)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′(如图2),使点E落在CD边上的点E′处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
已知:如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G,且BE=1.
(1)求证:△ABE≌△BCF;
(2)求出△ABE和△BCF重叠部分(即△BEG)的面积;
(3)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB'E'(如图2),使点E落在CD边
上的点E'处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由.
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科目:初中数学 来源:2013年甘肃省武威十三中中考数学模拟试卷(一)(解析版) 题型:解答题
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