Question

2．当k取何值时，关于x的方程3x²-2（3k+1）x+3k²-1=0
（1）有一根为零；（2）有两个互为相反数的实根；（3）有一正一负两实根．

Answer 1

分析 （1）将x=0代入方程求得k即可；
（2）根据方程有两个互为相反数的实根，即两根之和为0可得关于k的方程，解之即可；
（3）根据方程有一正一负两实根，即两根之积小于0且△＞0可得k的范围．

解答 解：（1）根据题意，将x=0代入方程，得：3k²-1=0，
解得：k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，方程有一个根为0；

（2）根据题意，得：$\frac{2（3k+1）}{3}$=0，
解得：k=-$\frac{1}{3}$，
即k=-$\frac{1}{3}$时，方程有两个互为相反数的实根；

（3）根据题意，得：$\frac{3{k}^{2}-1}{3}$＜0，
解得：k＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或k＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又∵△=4（3k+1）²-12（3k²-1）=24k+16＞0，
∴k＞-$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{3}{2}$＜k＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或k＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，方程有一正一负两实根．

点评 本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，根据方程根的情况得出相应的k的方程或不等式是解题的关键．