Question

在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，线段CD绕着点C逆时针旋转60°得到线段CP，连接PA、PB．
（1）求证：PB=AD；
（2）若∠APC=150°，①求证：PB²=PA²+PC²；②若PA、PC、PB分别等于三个相邻的自然数，求AB²的值．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）连结AC，由AB=BC，∠ABC=60°可判断△ABC为等边三角形，则CA=CB，∠ACB=60°，再根据旋转的性质得CP=CD，∠PCD=60°，易得∠PCB=∠DCA，
然后根据“SAS”判断△PCB≌△DCA，于是得到PB=AD；
（2）①由CP=CD，∠PCD=60°，可判断△CPD为等边三角形，则∠DPC=60°，PD=PC，而∠APC=150°，所以∠APD=90°，由勾股定理得AD²=PA²+PD²，
由于PD=PC，AD=PB，所以PB²=PA²+PC²；
②设PA、PC、PB分别等于n，n+1，n+2，由①的结论得（n+2）²=n²+（n+1）²，解得n₁=3，n₂=-1（舍去），则PA=3，PC=4，PB=5，
作AE⊥CP于E，由∠APC=150°得到∠APE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得AE=

1

2

AP=

3

2

，PE=

3

AE=

3 3

2

，则CE=PC+PE=4+

3 3

2

，
然后在Rt△AEC中，根据勾股定理计算AC²．

解答：（1）证明：连结AC，如图，
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°，
∵线段CD绕着点C逆时针旋转60°得到线段CP，
∴CP=CD，∠PCD=60°，
∴∠ACB=∠DCP，
∴∠ACB-∠ACP=∠DCP-∠ACP，
即∠PCB=∠DCA，
在△PCB和△DCA中

PC=DC ∠PCB=∠DCA CB=CA

，
∴△PCB≌△DCA，
∴PB=AD；
（2）①证明：∵CP=CD，∠PCD=60°，
∴△CPD为等边三角形，
∴∠DPC=60°，PD=PC，
∵∠APC=150°，
∴∠APD=90°，
∴AD²=PA²+PD²，
而PD=PC，AD=PB，
∴PB²=PA²+PC²；
②解：设PA、PC、PB分别等于n，n+1，n+2，
∵PB²=PA²+PC²，
∴（n+2）²=n²+（n+1）²，
整理得n²-2n-3=0，解得n₁=3，n₂=-1（舍去），
∴PA=3，PC=4，PB=5，
作AE⊥CP于E，如图，
∵∠APC=150°，
∴∠APE=30°，
∴AE=

1

2

AP=

3

2

，
PE=

3

AE=

3 3

2

，
∴CE=PC+PE=4+

3 3

2

，
在Rt△AEC中，
AC²=AE²+CE²=（

3

2

）²+（4+

3 3

2

）²=25+12

3

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理．