Question

9．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；
（2）如图②，在△ABC中，AC=2，BC=$\sqrt{2}$，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理求出∠ACB=80°，根据角平分线的定义得到∠ACD=40°，证明△BCD∽△BAC，证明结论；
（2）根据△BCD∽△BAC，得到$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，设BD=x，解方程求出x，根据相似三角形的性质定理列式计算即可．

解答 解：（1）∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD是等腰三角形，
∵∠BCD=∠A=40°，∠CBD=∠ABC
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△BAC的完美分割线；
（2）∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，
∵AC=AD=2，BC=$\sqrt{2}$，
设BD=x，则AB=4+x，
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{x+2}=\frac{x}{{\sqrt{2}}}$，
解得x=-1±$\sqrt{3}$，
∵x＞0，∴BD=x=-1+$\sqrt{3}$，
∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}$，
∵AC=2，BC=$\sqrt{2}$，BD=-1+$\sqrt{3}$
∴CD=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{{\sqrt{2}}}×2$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．