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    如图，将边长为4的等边△AOB放置于平面直角坐标系xOy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=
    k
    x
    （k＞0，x＞0）与OA边交于点E，连结EF、OF．
    （1）若S△OBF=
    4
    5
    		3
    ，求反比例函数的表达式；
    （2）在（1）的条件下，过点N（-
    2
    5
    ，0）作直线NM平行于y轴，以点E为圆心，EA长为半径的圆与直线NM交于点Q，与EF交于点P，求证直线NM与⊙E相切；
    （3）连接AQ、PQ，在（1）的条件下，求∠AQP的度数．
    考点：反比例函数综合题
    专题：
    分析：（1）首先过点F作FM⊥OB于点M，由△AOB是边长为4的等边三角形，S△OBF=
    4
    5
    		3
    ，可求得FM的长，再由三角函数，即可求得点F的坐标，继而利用待定系数法求得反比例函数的表达式；
    （2）首先过点E作EG⊥OB于点G，过点E作EH⊥NQ于点H，设点E（x，
    		3
    x），继而求得点E的坐标，则可求得AE的长，继而可证得AE=EH，证得直线NM与⊙E相切；
    （3）首先利用勾股定理的逆定理证得△AEF是直角三角形，然后利用圆周角定理，求得∠AQP的度数．
    解答：解：（1）如图1，过点F作FM⊥OB于点M，
    ∵△AOB是边长为4的等边三角形，
    ∴OB=OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠OAB=60°，
    ∵S△OBF=
    4
    5
    		3
    ，
    ∴
    1
    2
    OB•FM=
    1
    2
    ×4×FM=
    4
    5
    		3
    ，
    解得：FM=
    2
    5
    		3
    ，
    ∴BM=
    FM
    tan∠ABO
    =
    2
    5
    		3
    ÷
    		3
    =
    2
    5
    ，
    ∴AM=AB-BM=4-
    2
    5
    =
    18
    5
    ，
    ∴点F（
    18
    5
    ，
    2
    5
    		3
    ），
    ∴k=xy=
    18
    5
    ×
    2
    5
    		3
    =
    36
    		3
    25
    ，
    ∴反比例函数的表达式为：y=
    36
    		3
    25x
    ；

    （2）如图2，过点E作EG⊥OB于点G，过点E作EH⊥NQ于点H，
    设点E（x，
    		3
    x），
    ∵过点F的反比例函数y=
    36
    		3
    25x
    （x＞0）与OA边交于点E，
    ∴
    		3
    x=
    36
    		3
    25x
    ，
    解得：x=
    6
    5
    ，
    ∴点E（
    6
    5
    ，
    6
    		3
    5
    ），
    ∴OE=2OG=
    12
    5
    ，
    ∴AE=4-OE=4-
    12
    5
    =
    8
    5
    ，
    ∵过点N（-
    2
    5
    ，0）作直线NM平行于y轴，
    ∴EH=
    2
    5
    +
    6
    5
    =
    8
    5
    ，
    ∴EH=AE，
    ∴直线NM与⊙E相切．

    （3）∵BF=2BM=
    4
    5
    ，
    ∴AF=AB-BF=4-
    4
    5
    =
    16
    5
    ，
    ∵点E（
    6
    5
    ，
    6
    		3
    5
    ），点F（
    18
    5
    ，
    2
    5
    		3
    ），
    ∴EF2=（
    18
    5
    -
    6
    5
    ）2+（
    2
    5
    		3
    -
    6
    5
    		3
    ）2=
    192
    25
    ，
    ∵AE=
    8
    5
    ，
    ∴AE2+EF2=AF2，
    ∴∠AEP=90°，
    ∴∠AQP=
    1
    2
    ∠AEP=45°．
    点评：此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求函数解析式、切线的判定以及勾股定理的逆定理等知识．此题难度较大，综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
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    ；
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    ，
     
    ）?Q（
     
    ，
     
    ）?M（
     
    ，
     
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    ∴∠BFE=∠BDC=90°（
     
    ）
    ∴EF∥
     
     （
     
    ）
    ∴∠BEF=
     
    （
     
    ）
    又∵∠B+∠BDG=180°（已知）
    ∴BC∥
     
     （
     
    ）
    ∴∠CDG=
     
    （
     
    ）
    ∴∠CDG=∠BEF（
     
    ）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    6
    -
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    3x-2y
    6
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    2x+3y
    7
    =5
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    5
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    3x+1
    5
    -
    3y+2
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