Question

（2006•湘西州）如图，直线OQ的函数解析式为y=x．
下表是直线a的函数关系中自变量x与函数y的部分对应值．

x	…	-1	1	2	3	…
y	…	8	4	2	0	…

设直线a与x轴交点为B，与直线OQ交点为C，动点P（m，0）（0＜m＜3）在OB上移动，过点P作直线l与x轴垂直．
（1）根据表所提供的信息，请在直线OQ所在的平面直角坐标系中画出直线a的图象，并说明点（10，-10）不在直线a的图象上；
（2）求点C的坐标；
（3）设△OBC中位于直线l左侧部分的面积为S，写出S与m之间的函数关系式；
（4）试问是否存在点P，使过点P且垂直于x轴的直线l平分△OBC的面积？若有，求出点P坐标；若无，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用表中信息，描点、连线即可得到a的图象，由图象可知这是一个一次函数的图象，所以选择其中的两个点，
由待定系数法可求得直线a的解析式为y=-2x+6，然后判断点（10，-10）的坐标是否满足y=-2x+6，从而做出判断；
（2）因为直线a与直线OQ交点为C，所以将两函数的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出交点的坐标；
（3）由（2）知，P（2，2），因为动点P（m，0）（0＜m＜3）在OB上移动，过点P作直线l与x轴垂直，所以需要分情况讨论：
当0＜m≤2时，P在直线OQ上，所以△OBC中位于直线l左侧部分是一个等腰直角三角形，S=m²；
当2＜m＜3时，P在直线BC上，所以△OBC中位于直线l右侧部分是一个直角三角形S=×3×2-（3-m）•（-2m+6）；
（4）若有这样的P点，使直线l平分△OBC的面积，很显然0＜m＜2，由于△OBC面积等于3，故当l平分△OBC面积时，，所以m²=，解之即可．
解答：解：（1）由表中信息可知点（2，2），（3，0）在直线a上，描点连线得直线a的图象，如图．（1分）
由待定系数法可求得直线a的解析式为y=-2x+6（3分）
点（10，-10）的坐标不满足y=-2x+6
所以点（10，-10）不在直线a图象上（4分）

（2）解方程组（6分）
得x=y=2
故点C的坐标为（2，2）（8分）

（3）当0＜m≤2时，如图（1），∵C的坐标是（2，2），作CD⊥x轴，则△OCD是等腰直角三角形，则△OPM也是等腰直角三角形．
则OP=PM=x，则
S=m²（11分）

当2＜m＜3时，如图（2），NP=3-m，
∵△NCD∽△NMP，
∴=，
则MP=-2m+6，
S=S_△ONC-S_△NPM
=×3×2-（3-m）•（-2m+6）（13分）
=-m²+6m-6（14分）

（4）若有这样的P点，使直线l平分△OBC的面积，很显然0＜m＜2（16分）
由于△OBC面积等于3，故当l平分△OBC面积时，
∴m²=解得m=
故存在这样的P点，使l平分△OBC的面积．
点P的坐标为（，0）．（20分）
点评：解决本题这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．