Question

19．如图，等边三角形ABC中，点P为AB中点，点Q为AC中点，R为BC中点，M为RC上任一点，△PMS为等边三角形，求证：RM=QS．

Answer 1

分析 判断出∠SPQ=∠MPR，再由两个等边三角形的边，判断出△PRM≌△PQS，即可求解

解答 证明：如图，连接PR，PQ，SQ，

∵P，Q，R是等边三角形的三边中点，
∴AB=BC=AC，∠A=∠C=∠ABC，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BC，PR=$\frac{1}{2}$AC，RQ=$\frac{1}{2}$AB，
∴PQ=PR=RQ，
∵等边三角形PMS，
∴PM=PS=MS，∠QPR=∠SPM=60°，
∴∠QPR-∠QPM=∠SMP-∠QPM，
∴∠QPS=∠RPM，
在△PRM和△PQS中，
$\left\{\begin{array}{l}{PQ=PR}\\{∠QPS=∠RPM}\\{PS=PM}\end{array}\right.$
∴△PRM≌△PQS，
∴QS=RM；

点评 本题考查了三角形的全等的性质和判定，等边三角形的性质，判定三点共线的方法，解本题的关键是得到∠QSP=∠RPM，重合添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．