Question

17．已知抛物线C：y=（x+2）[t（x+1）-（x+3）]，其中-7≤t≤-2，且无论t取任何符合条件的实数，点A，P都在抛物线C 上．
（1）当t=-5 时，求抛物线C的对称轴；
（2）当-60≤n≤-30 时，判断点（1，n）是否在抛物线C上，并说明理由；
（3）如图，若点A在x轴上，过点A作线段AP的垂线交y轴于点B，交抛物线C于点D，当点D的纵坐标为m+$\frac{1}{2}$时，求S_△PAD的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件求得抛物线解析式，即可求得其对称轴；
（2）把点代入抛物线解析式可得到n与t的关系式，由t的范围可求得n的取值范围，再与已知n的范围进行比较即可得出结论；
（3）过点P作PN⊥x轴于点N，可证得△PAN≌△ABO，可求得PA、OB的长，再证得△DAM∽△BAO，可用m表示出AD的长，则可表示出△PAD的面积，由A、B的坐标可求得直线AB的解析式，从而可用m表示出D点坐标，代入抛物线解析式可得到t与m的关系，利用t的范围可求得m的范围，再利用一次函数的性质可求得△PAD的最小值．

解答 解：
（1）当t=5时，y=-6x²-20x-16，
∵-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{5}{3}$，
∴对称轴为x=-$\frac{5}{3}$；

（2）若（1，n）在抛物线上，将点（1，n）代入解析式，得n=6t-12，
∵-7≤t≤-2，
∴-54≤n≤-24，
∵-60≤n≤-30，
∴当-60≤n＜-54时，点（1，n）不在抛物线C上；
当-54≤n≤-30时，点（1，n）在抛物线C上．

（3）由题得A（-2，0），P（-1，-2），
过点P作PN⊥x轴于点N，过D作DM⊥x轴于点M，
∴PN=AO=2，∠PNA=∠AOB=90°，

∵PA⊥AB，
∴∠PAN+∠BAO=90°，
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠PAN=∠ABO，
在△PAN和△ABO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAN=∠ABO}\\{∠PNA=∠AOB}\\{PN=AO}\end{array}\right.$
∴△PAN≌△ABO（AAS），
∴BO=AN=AO-NO=2-1=1，
∴PA=AB=$\sqrt{5}$，
∵∠DMA=∠BOA=90°，且∠DAM=∠BAO，
∴△DAM∽△BAO，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DM}{BO}$，
∵点D的纵坐标为m+$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\sqrt{5}$（m+$\frac{1}{2}$），
∴S_△PAD=$\frac{1}{2}$ AP•AD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$（m+$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$（m+$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$m+$\frac{5}{4}$
∵A（-2，0），B（0，1），
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，当y=m+$\frac{1}{2}$时，x=2m-1，
∴D点坐标为（2m-1，m+$\frac{1}{2}$），代入抛物线C的解析式可得t=1+$\frac{5}{4m}$，
∵-7≤t≤-2，
∴-$\frac{5}{12}$≤m≤-$\frac{5}{32}$，且m+$\frac{1}{2}$＞0，
∴S_△PAD=$\frac{5}{2}$m+$\frac{5}{4}$，
∵$\frac{5}{2}$＞0，
∴S_△PAD随m的增大而增大，
∴当m取最小值-$\frac{5}{12}$时，S△PAD的最小值为$\frac{5}{24}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、一次函数的性质及方程思想等知识．在（1）中求出抛物线的解析式即可解决，在（2）中利用t与n的关系，求得点在抛物线上时n的范围是解题的关键，在（3）中通过构造三角形全等、相似，用m表示出AD的长，进一步表示出△PAD的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问难度较大．