Question

如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，B、C在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证△ADG≌△ABE；
（2）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当E由B向C运动时，∠FCN的大小是否保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

Answer 1

分析：（1）根据三角形判定方法进行证明即可．
（2）通过构建直角三角形来求度数，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
在△BAE和△DAG中

AB=AD ∠BAE=∠DAG AE=AG

∴△BAE≌△DAG（SAS）．

（2）解：当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，
理由是：作FH⊥MN于H，
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
结合（1）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射线CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
在△GAD和△EFH中

∠GDA=∠FHE ∠DAG=∠FEH AG=EF

∴△GAD≌△EFH（AAS），
∵∠ABE=∠EHF，∠BAE=∠FEH，
∴△EFH∽△ABE，
∴EH=AD=BC=b，
∴CH=BE，
∴1

EH

AB

=

FH

BE

=

FH

CH

；
在Rt△FEH中，tan∠FCN=

FH

CH

=

EH

AB

=

b

a

，
∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=

b

a

．

点评：本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．