Question

【题目】下表中给出了变量x，与y=ax2，y=ax2+bx+c之间的部分对应值，（表格中的符号“…”表示该项数据已丢失）

x	﹣1	0	1
ax2	…	…	1
ax2+bx+c	7	2	…

（1）求抛物线y=ax2+bx+c的表达式

（2）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，与y轴的交点为A，点M是抛物线对称轴上一点，直线AM交对称轴右侧的抛物线于点B，当△ADM与△BDM的面积比为2：3时，求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，设线段BD与x轴交于点C，试写出∠BAD和∠DCO的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣4x+2；(2) 点B的坐标为（5，7）；（3）∠BAD和∠DCO互补，理由详见解析.

【解析】

（1）由（1，1）在抛物线y=ax2上可求出a值，再由（﹣1，7）、（0，2）在抛物线y=x2+bx+c上可求出b、c的值，此题得解；

（2）由△ADM和△BDM同底可得出两三角形的面积比等于高的比，结合点A的坐标即可求出点B的横坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标；

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出A、D的坐标，过点A作AN∥x轴，交BD于点N，则∠AND=∠DCO，根据点B、D的坐标利用待定系数法可求出直线BD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点N的坐标，利用两点间的距离公式可求出BA、BD、BN的长度，由三者间的关系结合∠ABD=∠NBA，可证出△ABD∽△NBA，根据相似三角形的性质可得出∠ANB=∠DAB，再由∠ANB+∠AND=180°可得出∠DAB+∠DCO=180°，即∠BAD和∠DCO互补．

（1）当x=1时，y=ax2=1，

解得：a=1；

将（﹣1，7）、（0，2）代入y=x2+bx+c，得：

，解得：，

∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x+2；

（2）∵△ADM和△BDM同底，且△ADM与△BDM的面积比为2：3，

∴点A到抛物线的距离与点B到抛物线的距离比为2：3．

∵抛物线y=x2﹣4x+2的对称轴为直线x=﹣=2，点A的横坐标为0，

∴点B到抛物线的距离为3，

∴点B的横坐标为3+2=5，

∴点B的坐标为（5，7）．

（3）∠BAD和∠DCO互补，理由如下：

当x=0时，y=x2﹣4x+2=2，

∴点A的坐标为（0，2），

∵y=x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，

∴点D的坐标为（2，﹣2）．

过点A作AN∥x轴，交BD于点N，则∠AND=∠DCO，如图所示．

设直线BD的表达式为y=mx+n（m≠0），

将B（5，7）、D（2，﹣2）代入y=mx+n，

，解得：，

∴直线BD的表达式为y=3x﹣8．

当y=2时，有3x﹣8=2，

解得：x=，

∴点N的坐标为（，2）．

∵A（0，2），B（5，7），D（2，﹣2），

∴AB=5，BD=3，BN=，

∴==．

又∵∠ABD=∠NBA，

∴△ABD∽△NBA，

∴∠ANB=∠DAB．

∵∠ANB+∠AND=180°，

∴∠DAB+∠DCO=180°，

∴∠BAD和∠DCO互补．