Question

1．将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1，如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，四边ABC₁D₁为矩形；当点B的移动距离为$\sqrt{3}$时，四边形ABC₁D₁为菱形．

Answer 1

分析 当点B的移动距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，∠C₁BB₁=60°，则∠ABC₁=90°，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定四边形ABC₁D₁为矩形；当点B的移动距离为 $\sqrt{3}$时，D、B1两点重合，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可判定四边形ABC₁D₁为菱形．

解答 解：如图：

当四边形ABC₁D是矩形时，∠B₁BC₁=90°-30°=60°，
∵B₁C₁=1，
∴BB₁=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{tan60°}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当点B的移动距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，四边形ABC₁D₁为矩形；
当四边形ABC₁D是菱形时，∠ABD₁=∠C₁BD₁=30°，
∵B₁C₁=1，
∴BB₁=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{tan30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$，
当点B的移动距离为$\sqrt{3}$时，四边形ABC₁D₁为菱形．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质，注意：有一直角的平行四边形是矩形，菱形的每一条对角线平分一组对角．