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1.如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=4$\sqrt{3}$,点E是BC的中点,点F在AB上,FB=2,P是矩形上一动点.若点P从点F出发,沿F→A→D→C的路线运动,当∠FPE=30°时,FP的长为4或8或4$\sqrt{3}$.

分析 如图,连接DF,AE,DE,取DF的中点O,连接OA、OE.以O为圆心画⊙O交CD于P3.只要证明∠EP1F=∠FP2F=∠FP3E=30°,即可推出FP1=4,FP2=8,FP3=4$\sqrt{3}$解决问题.

解答 解:如图,连接DF,AE,DE,取DF的中点O,连接OA、OE.以O为圆心画⊙O交CD于P3

∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠B=90°,
∵BF=2,BE=2$\sqrt{3}$,AF=4,AD=4$\sqrt{3}$,
∴tan∠FEB=tan∠ADF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴∠ADF=∠FEB=30°,
易知EF=OF=OD=4,
∴△OEF是等边三角形,
∴∠EP1F=∠FP2F=∠FP3E=30°,
∴FP1=4,FP2=8,FP3=4$\sqrt{3}$,
故答案为4或8或4$\sqrt{3}$.

点评 本题考查矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造特殊三角形解决问题,属于中考填空题中的压轴题.

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