Question

【题目】在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1、y2，都有点（x，y1）和（x，y2）关于点（x，x）中心对称（包括三个点重合时），由于对称中心都在直线y=x上，所以称这两个函数为关于直线y=x的特别对称函数．例如：y=x和y=为关于直线y=x的特别对称函数．

（1）若y=3x+2和y=kx+t（k≠0）为关于直线y=x的特别对称函数，点M（1，m）是y=3x+2上一点．

①点M（1，m）关于点（1，1）中心对称的点坐标为　　．

②求k、t的值．

（2）若y=3x+n和它的特别对称函数的图象与y轴围成的三角形面积为2，求n的值．

（3）若二次函数y=ax2+bx+c和y=x2+d为关于直线y=x的特别对称函数．

①直接写出a、b的值．

②已知点P（﹣3，1）、点Q（2，1），连结PQ，直接写出y=ax2+bx+c和y=x2+d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ①（1，﹣3）；②k=﹣1，t=﹣2；(2) n=±2；(3) ①a=﹣1，b=2，c=﹣d, ②y=ax2+bx+c和y=x2+d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为﹣8≤d＜﹣3或0≤d＜1

【解析】

(1)、将点代入函数解析式求出m的值，根据对称点的求法得出答案；根据特别对称函数的性质分别求出k和t的值；(2)、设y=3x+n①的特别对称函数为y=m'x+n'，根据特别对称函数的性质得出m'=﹣1，n'=﹣n，则y=3x+n的特别对称函数为y=﹣x﹣n②，联立方程组求出x=﹣n，y=﹣n，根据面积为2求出n的值；(3)、根据特别对称函数的性质得出∴a=﹣1，b=2，c=﹣d，根据有交点分别画出两个不同的图形，从而得出答案．

（1）①∵点M（1，m）是y=3x+2上一点，∴m=5，

∴M（1，5），∴点M关于（1，1）中心对称点坐标为（1，﹣3）；

②∵y=3x+2和y=kx+t（k≠0）为关于直线y=x的特别对称函数， ∴=x，

∴（1+k）x+（t+2）=0， ∴k=﹣1，t=﹣2；

（2）设y=3x+n①的特别对称函数为y=m'x+n'， ∴=x，

∴（1+m'）x+n+n'=0， ∴m'=﹣1，n'=﹣n， ∴y=3x+n的特别对称函数为y=﹣x﹣n②，

联立①②解得，x=﹣n，y=﹣n，

∵y=3x+n和它的特别对称函数的图象与y轴围成的三角形面积为2，

∴|n﹣（﹣n）|×|﹣n|=2， ∴n=±2；

（3）①∵二次函数y=ax2+bx+c和y=x2+d为关于直线y=x的特别对称函数，

∴， ∴（a+1）x2+（b﹣2）x+c+d=0， ∴a=﹣1，b=2，c=﹣d；

②由①知，a=﹣1，b=2，c=﹣d， ∴二次函数y=﹣x2+2x﹣d和y=x2+d，

∴这两个函数的对称轴为直线x=1和x=0，

∵P（﹣3，1）、点Q（2，1），当d＜0时，如图1，

当抛物线C2：y=x2+d恰好过点P（﹣3，1）时， 即：9+d=1，∴d=﹣8，

当抛物线C1：y=﹣x2+2x﹣d恰好过点Q（2，1）时， 即：﹣4+2﹣d=1，∴d=﹣3，

y=ax2+bx+c和y=x2+d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为﹣8≤d＜﹣3，

如图2，当0≤d＜时，抛物线C1与线段PQ有两个交点，而抛物线C2与线段PQ没有交点，

∴y=ax2+bx+c和y=x2+d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为0≤d＜1，

即：y=ax2+bx+c和y=x2+d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为﹣8≤d＜﹣3或0≤d＜1．