Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．
（1）求证：AE=GF；
（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形的性质（三线合一），可得BE=DE，又由F是CD的中点，可得EF是△DBC的中位线，易得四边形AEFD是平行四边形，即可证得AE=DF=CF；
（2）由（1）可知：EF⊥DG，所以四边形DEGF的面积=

1

2

EF•DG；根据直角三角形的性质，即可求得EF与DG的长，即可求得四边形的面积．

解答：（1）证明：∵AB=DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠BDC=90°．（1分）
由已知AE⊥BD，
∴AE∥DC．（2分）
又∵AE为等腰三角形ABD的高，
∴E是BD的中点，
∵F是DC的中点，
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）
∴AE=DF（4分）
∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，
∴GF=DF，（5分）
∴AE=GF．（6分）

（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，
∵AE=1，
∴AD=2．
在Rt△DGC中∠C=60°，
并且DC=AD=2，
∴DG=

3

．（8分）
由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，
又∵DG⊥BC，
∴DG⊥EF，
∴四边形DEGF的面积=

1

2

EF•DG=

3

．（10分）

点评：（1）考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质．此题比较复杂，解题时要注意仔细识图；
（2）此题考查了直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，解题时要注意对角线互相垂直的四边形面积的求法：对角线积的一半．