Question

已知如图，线段AC，BD交于O，∠AOB为钝角，AB=CD，BF⊥AC于点F，DE⊥AC于点E，AE=CF，求证：BD与EF互相平分．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接BE、FD，首先由题意推出BF∥DE，AF=CE，∠BFA=∠DEC=90°，推出Rt△BFA≌Rt△DEC，便知BF=DE，推出四边形BEDF为平行四边形，即可推出BD与EF互相平分．

解答：证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴BF∥DE，∠BFA=∠DEC=90°，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在Rt△BFA和Rt△DEC中，

AF=CE AB=CD

，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴BD与EF互相平分．

点评：本题主要考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，关键在于通过求证△BFA≌△DEC，推出BF=DE．