Question

19．平面直角坐标系中，点C是抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+b的顶点，抛物线交x轴负半轴于点Q，直线y=-2x+2分别交x轴、y轴于点B、A，交抛物线于点M、N（点M在点N的左侧）．
（1）求点N和M的坐标；（用b表示）；
（2）若S_△QAN=3S_△QAM，求b的值
（3）如图，b＞2，直线NQ交y轴于点P，当PC=PN时，求b的值．

Answer 1

分析 （1）列方程组，把b看作常数，求方程组的解，写出点N和M的坐标；（
（2）如图2，作辅助线，构建平行线，证明△MDA∽△NEA，根据S_△QAN=3S_△QAM，由这两个三角形是不同底同高的两个三角形，其面积的比就是底边AN和AM的比，则EN=3MD，列式可得b的值；
（3）如图3，求Q的坐标为Q（-$\sqrt{2b}$，0），利用待定系数法求直线QN的解析式为：y=-x-$\sqrt{2b}$，分别表示PC和PN的长，列式可得结论．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+b}\\{y=-2x+2}\end{array}\right.$，
-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+b=-2x+2，
x²-4x+4=2b，
（x-2）2=2b，
x=2$±\sqrt{2b}$，
当x=2+$\sqrt{2b}$时，y=-2（2+$\sqrt{2b}$）+2=-2-2$\sqrt{2b}$，
当x=2-$\sqrt{2b}$时，y=-2（2-$\sqrt{2b}$）+2=-2+2$\sqrt{2b}$，
∵点M在点N的左侧，
∴M（2-$\sqrt{2b}$，-2+2$\sqrt{2b}$），N（2+$\sqrt{2b}$，-2-2$\sqrt{2b}$）；

（2）如图2，过M作MD⊥y轴于D，过N作NE⊥y轴于E，
∴MD∥NE，
∴△MDA∽△NEA，
∴$\frac{MD}{EN}=\frac{AM}{AN}$，
∵S_△QAN=3S_△QAM，
∴$\frac{{S}_{△QAN}}{{S}_{△QAM}}$=$\frac{AN}{AM}$=3，
∴$\frac{MD}{EN}$=$\frac{1}{3}$，
∴EN=3MD，
即2+$\sqrt{2b}$=3（$\sqrt{2b}$-2），
b=8；

（3）如图3，当y=0时，-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+b=0，
x=$±\sqrt{2b}$，
∴Q（-$\sqrt{2b}$，0），
由（1）得：N（2+$\sqrt{2b}$，-2-2$\sqrt{2b}$），
当x=0时，y=b，
∴C（0，b），
设直线QN的解析式为：y=kx+a，
则$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2b}k+a=0}\\{（2+\sqrt{2b}）k+a=-2-2\sqrt{2b}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{a=-\sqrt{2b}}\end{array}\right.$，
∴直线QN的解析式为：y=-x-$\sqrt{2b}$，
∴P（0，-$\sqrt{2b}$），
∴PC=b+$\sqrt{2b}$，
过N作NE⊥y轴于E，
在Rt△PEM中，PE=2+2$\sqrt{2b}$-$\sqrt{2b}$=2+$\sqrt{2b}$，
EN=2+$\sqrt{2b}$，
由勾股定理得：PN²=PE²+EN²，
∵PC=PN，
∴（b+$\sqrt{2b}$）²=2（2+$\sqrt{2b}$）²，
[$\sqrt{b}$（$\sqrt{b}$+$\sqrt{2}$）]²=2[$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+$\sqrt{b}$）]²，
b=8．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的性质和判定、二次函数与两坐标轴的交点等知识，对于含字母系数的二次函数，计算时要注意把字母系数b看作常数，并与方程相结合，解决问题．