Question

如图，半圆的直径AB=10，点C在半圆上，BC=6．
（1）求弦AC的长；
（2）把△BCE沿BE折叠，使点C与直径AB上的P点重合，连结PC．求PE，PC的长．

Answer 1

分析：（1）由AB是半圆的直径，得到∠ACB=90°，而AB=10，BC=6，根据勾股定理即可计算出AC；
（2）先根据轴对称的性质得出∠EPB=∠ACB=90°，PE=CE，BP=BC=6．设PE=x，则EC=x，AE=8-x，AP=4，再证明△APE∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例求出PE=3，再证明△PEF∽△BEP，根据相似三角形的对应边成比例求出PF=

12 5

5

．

解答：解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得，AC=8；

（2）∵把△BCE沿BE折叠，点C与直径AB上的P点重合，
∴△BCE≌△BPE，∠EPB=∠ACB=90°，PE=CE，BP=BC=6．
设PE=x，则EC=x，AE=8-x，AP=4．
∵在△APE与△ACB中，

∠A=∠A ∠APE=∠ACB=90°

，
∴△APE∽△ACB，
∴AP：AC=PE：CB，即4：8=x：6，
解得x=3，
∴PE=3，AE=5，BE=

BP2+PE2

=

62+32

=3

5

．
设PC与BE的交点为F．
∵P点C点关于BE对称，
∴BE是线段PC的垂直平分线，即BE⊥CP，PC=2PF．
∵在△PEF与△BEP中，

∠PEF=∠BEP ∠PFE=∠BPE=90°

，
∴△PEF∽△BEP，
∴PF：BP=PE：BE，即PF：6=3：3

5

，
解得PF=

6 5

5

，
∴PC=2PF=

12 5

5

．
故PE=3，PC=

12 5

5

．

点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，根据两角对应相等的两三角形相似证明△APE∽△ACB及△PEF∽△BEP是解题的关键．